×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sopra i fenomeni che avvengono in vicinanza di una linea ovaria. (Italian) JFM 48.1309.05
In vielen physikalischen Fällen sind Zustände in einem mit der Zeit nur wenig veränderlichen Raumstück zu untersuchen. In allgemeinerer relativistischer Sprache bedeutet dies dann, daß in einem Riemannschen (bzw. Weylschen) \(R_n\) ein Ausdruck für \(ds^2\) zu suchen ist, der in der Nähe einer gegebenen Linie \(L\) eine möglichst einfache Gestalt annimmt. Hier wird das folgende Verfahren eingeschlagen: Es sei \(\eta \) die Tangentenrichtung in \(P\) auf \(L\), \(y\) in \(P\) zu \(\eta \) orthogonal, \(\eta +\delta\eta\) und \(y +\delta y\) die zugehörigen, im Sinne von Levi-Civita längs \(L\) parallel nach \(P+dP\) übertragenen Richtungen, \(\eta +\delta\eta\) die neue Tangentenrichtung. In dem allein interessierenden allgemeinen Falle, wo \(L\) keine Geodäte ist, kann man jetzt den gesamten Raum bei \(P+dP\) um den zu \(\eta +\delta\eta\), \(\eta +d\eta\) orthogonalen \(R_{n-2}\) drehen, bis der erste dieser Vektoren in den zweiten übergeht; die Endposition von \(y+\delta y\) sei dann als \(y+dy\) definiert. Dieser Prozeß, analytisch ausgedrückt durch \[ \frac {dy^{(i)}}{ds}= -\sum _{hk}\Bigl\{ \begin{matrix}\\ h\,k\\ i \end{matrix} \Bigr\} y^{(h)}\frac {dx_k}{ds} - \frac {dx_i}{ds}\,\sum _h C_hy^h; \] \[ C^i=\frac {d\eta ^{(i)}-\delta\eta ^{(i)}}{ds} = \frac {d^2x_i}{ds^2} + \sum _{hl}\Bigl\{ \begin{matrix}\\ h\,l\\ i \end{matrix} \Bigr\} \frac {dx_h}{ds}\,\frac {dx_l}{ds}; \] \[ (ds^2 = \sum _{ik} g_{ik}\,dx_i\,dx_k), \] wird an \(n-1\) untereinander und zur Tangente \(\eta\equiv y_n\) orthogonalen Richtungen ausgeführt. Ein Punkt \(Q_0\) habe im ursprünglichen Bezugsystem dieser Art um \(P_0\) die Koordinaten \(\bar y_1,\ldots,\bar y_{n-1}\), 0; man ordne ihm im transformierten System stets den Punkt mit den gleichen Koordinaten zu; zuletzt nehme man \(Q_0\) ganz nahe bei \(P_0\). Nunmehr ist \[ ds_Q^2 =(1+C\times Q-P)^2\,ds_P^2 + d\bar y_1^2+\cdots +d\bar y_{n-1}^2 \] der sehr einfache Ausdruck für das Quadrat des Bogenelements um \(Q\) (\(\times \) bedeutet, wie üblich, das skalare Produkt, \(Q-P\) den Vektor von \(P\) nach \(Q\)). Man kann diese Formel stets auch in einem Euklidischen \(R_n\) interpretieren.

PDF BibTeX XML Cite