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On the distribution of roots of algebraic equations with integral coefficients. (Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten.) (German) JFM 49.0047.01

Die Arbeit beschäftigt sich damit, Kriterien aufzustellen, wann nur eine endliche Anzahl von Gleichungen \[ a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_n = 0 \tag{1} \] mit ganzzahligen rationalen Koeffizienten und mit nur einfachen Wurzeln existiert, deren sämtliche Wurzeln einer beliebig, aber fest vorgegebenen unendlichen, beschränkten und abgeschlossenen Punktmenge \(E\) der \(x\)-Ebene angehören. Nach dem Vorgang von I. Schur [Math. Z. 1, 377–402 (1918; JFM 46.0128.03)], der sich in einer gleichnamigen Arbeit mit demselben Problem im besonderen Fall des reellen Intervalls und des Kreises beschäftigt hat, geht Verf. von der Diskriminante \(\varDelta (x_1, x_2, \ldots, x_n) = \prod (x_i - x_k)^2\) \((n \geqq 2)\) aus. Ist \(M_n\) der größte Wert, den der absolute Betrag der Diskriminante \(\varDelta\) der \(n\) Größen \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) annehmen kann, falls diese in \(E\) beliebig variieren, so bilden die positiven Zahlen \(d_n = \root{n (n-1)}\of{M_n}\) (\(n = 2, 3,\ldots\)) eine monoton abnehmende Folge, und es existiert für diese Zahlen \(d_n\) daher ein Grenzwert (der “transfinite Durchmesser von \(E\)”). Bedeutet weiter \(t_n (x)\) das zu \(E\) zugehörige Tschebyscheffsche Polynom \(n\)-ten Grades und ist \(m_n\) der größte Wert von \(|t_n (x)|\) auf \(E\), so konvergieren die mittleren Radien \(\varrho_n = \root{n}\of{m_n}\) der Überdeckungslemniskaten \(|t_n (x)| = m_n\) bei wachsendem \(n\) ebenfalls nach einem Grenzwert, und zwar ist \(\lim \varrho_n = \lim d_n\), also der transfinite Durchmesser von \(E\). In dem Fall, daß die Komplementärmenge von \(E\) einen einfach zusammenhängenden Bereich bildet, wird \(\lim d_n\) bestimmt. Nach Ableitung dieser den ebenen Punktmengen gewidmeten Sätze beschäftigt sich der Verf. im zweiten Teil mit den ganzzahligen Gleichungen, deren Wurzeln der gegebenen Punktmenge \(E\) angehören. Bei fest gegebenem höchstem Koeffizienten \(a_0\) kann es nur dann unendlich viele ganzzahlige Gleichungen (1) mit einfachen, in \(E\) fallenden Wurzeln geben, falls der transfinite Durchmesser \(\lim d_n\) der Menge \(E\) den Wert \({}\geqq 1\) besitzt. Weiter untersucht Verf. die Endlichkeit der ganzzahligen Gleichungen (1) mit Wurzeln aus \(E\), falls der höchste Koeffizient \(a_0 \leqq \alpha\beta^n\), wobei \(a_0 > 0\), \(\alpha\) und \(\beta\) gegebene positive Zahlen mit \(\beta > 1\) bedeuten. Für \(\beta^2 \delta^* < 1\) gibt es nur endlich viele solche ganzzahlige Gleichungen (1); dabei ist \(\delta^*\) der transfinite Durchmesser des zu \(E\) zugehörigen symmetrischen Kerns \(E^*\), d. h. derjenigen Teilmenge von \(E\), die außer allen reellen Punkten von \(E\) alle und nur diejenigen imaginären enthält, die mit Einschluß ihrer Spiegelbilder in bezug auf die reelle Achse zu \(E\) gehören. Außer durch die “Diskriminantenmethode” werden die Sätze auch durch die Resultantenmethode abgeleitet.

MSC:

12D10 Polynomials in real and complex fields: location of zeros (algebraic theorems)

Citations:

JFM 46.0128.03
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References:

[1] KurzT-Polynom.
[2] Existenz und Unität dieses Polynomst n (x) folgt für allgeimeine Punktmengen der charakterisierten Art aus gewissen Sätzen von Herrn de la Vallée-Poussin. Vgl. Sur les polynomes d’approximation à une variable complexe. [Bull. de l’Acad. r. de Belgique3 (1911), S. 199-211.]
[3] G. Faber: Über Tschebyscheffsche Polynome [Journal für Math.150 (1919), S. 79-106], S. 86. Vgl. auch Faber, Potentialtheorie und konforme Abbildung [Sitzungsber. der math.-phys. Kl. der bay. Akad. d. Wiss. 1920, S. 49-64]. · JFM 47.0315.01
[4] Vgl. auch G. Szegö: Über orthogonale Polynome usw. Math. Zeitschrift9 (1921), S. 254.
[5] Herr Szegö hat ihn dem Verf. (in speziellerer Form) als eine Vermutung mitgeteilt und auch potentialtheoretisch interpretiert; auch die im Texte befindliche allgemeine Form des Satzes ist seiner Anregung zu verdanken.
[6] A. a. O. S. 388 und S. 398.
[7] Vgl. Herrn Szegös Aufsatz a. a. O. Fußnote 11), S. 253-254.
[8] Satz XIV läßt sich offenbar umkehren.
[9] Das ist eine leicht ersichtliche Folge der Unität dieser Polynome.
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