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Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären Abelschen Gruppen. (German) JFM 49.0084.03
In dieser Arbeit werden die Abelschen Gruppen mit abzählbar unendlich vielen Elementen, deren Ordnungen Potenzen der Primzahl \(p\) sind, behandelt. Falls jedes System von endlich vielen Elementen in einer zyklischen Untergruppe enthalten ist, so heißt die Gruppe vom Range 1. Die Gesamtheit der rationalen Zahlen, deren Nenner eine Potenz von \(p\) ist, bilden, nach der Addition (mod 1) betrachtet, ein bemerkenswertes Beispiel einer solchen Gruppe. Ähnlich werden die Gruppen von höherem Range definiert. Unter den Untergruppen gibt es besonders wichtige, die Servanzuntergruppen, welche bereits in der Theorie der endlichen Gruppen eine Rolle spielen. Sie sind durch die Eigenschaft charakterisiert, daß jedes Element der Untergruppe, welches \(p\)-te Potenz eines Elementes der ganzen Gruppe ist, schon in der Untergruppe selber \(p\)-te Potenz ist. Nun gilt der Satz: Jede primäre Gruppe enthält eine Servanzuntergruppe vom Range 1. Diese Servanzuntergruppe ist unter gewissen Bedingungen ein direkter Faktor der ganzen Gruppe. Ist die Gruppe von endlichem Range \(r\), so ist sie direktes Produkt von \(r\) Gruppen vom Range 1. Zum Schluß wird ein Beispiel einer Gruppe von unendlichem Rang angegeben, welche nicht direktes Produkt von Gruppen des Ranges 1 ist. Hier brauchen die Servanzuntergruppen auch nicht direkte Faktoren zu sein.

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References:
[1] Diese Abhandlung ist zum größten Teil ein Umarbeitung der 1. Hälfte meiner Dissertation, Unendliche Abelsche Gruppen von Elementen endlicher Ordnung, Berlin (1921). An weiterer Literatur ist nur noch § 1 der Habilitationsschrift von Herrn F. Levi, Abelsche Gruppen mit abzählbaren Elementen, Leipzig, B. G. Teubner (1917) zu nennen. Vgl. jedoch Fußnote3) der vorliegenden Arbeit.
[2] Die bei endlichen Gruppen übliche Schlußweise. Vgl. Fußnote4).
[3] Der ganze Beweis ist die Verallgemeinerung des bei endlichen Gruppen seit Jahrzehnten gebräuchlichen Beweises.
[4] Die Abzählbarkeit ist wesentlich. Vgl. meine Dissertation, § 26.
[5] Der hierin enthaltene, sehr einfache Beweis für die Zerlegbarkeit der endlichen primären Gruppen steht in engem Zusammenhang mit dem Beweise von Herrn R. Remak, Über die Zerlegung der kommutativen Gruppen in zyklische teilerfremde Faktoren, Journal f. d. reine u. angewandte Mathematik141 (1912), S. 245-250.
[6] Durch dieses Beispiel wird Satz 4 der Levischen Arbeit widerlegt.
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