×

zbMATH — the first resource for mathematics

Zur Charakterisierung der Drehungsgruppe. (German) JFM 49.0086.05
Der Begriff der “Drehungsgruppe” des \(n\)-dimensionalen Raumes, also der Gruppe der reellen linearen Transformationen, die eine gegebene positiv-definite quadratische Form \(Q\) invariant lassen, gestattet zwei Möglichkeiten der Ausdehnung vom reellen auf das komplexe Gebiet: die Gruppe der “orthogonalen” und der “unitären” Transformationen, erstere die quadratische Form \(\sum x^2_i\), letztere die Hermitesche Form \(\sum x_i\bar x_i\) invariant lassend. Zu dem klassischen Problem, die (reelle) Drehungsgruppe durch innere Eigenschaften zu kennzeichnen, tritt angesichts der Relativitätstheorie als gleichberechtigt das entsprechende Problem für eine nicht-ausgeartete reelle Form \(Q\) von beliebigem Trägheitsindex. Will man alle Fälle des Trägheitsindex gleichzeitig umspannen, so wird man dazu geführt, das Problem in der erstgenannten Weise auf das komplexe Gebiet zu übertragen. Im Sinne der allgemeinen Relativitätstheorie, nach welcher die Maßstruktur von infinitesimalen Bindungen regiert wird, liegt es dann, das Augenmerk auf die infinitesimalen Drehungen zu richten. (Zur Fragestellung vgl. Weyl, Mathematische Analyse des Raumproblems; siehe F. d. M. dieser Band, Abschnitt V 6 A.)
So ergibt sich das Problem, die infinitesimale Gruppe derjenigen linearen homogenen Transformationen der komplexen Variabeln \(x_1, x_2, \dots, x_n\) zu charakterisieren, welche \(Q= \sum x_i^2\) invariant lassen. Es werden drei Gruppen von charakterisierenden Merkmalen angegeben: Die Eigenschaften I haben zum Gegenstand die Beziehung jedes Vektors zur Mannigfaltigkeit aller seiner durch Operationen der Gruppe erzeugten unendlich kleinen Verrückungen; II behandelt die Frage nach der Anzahl derjenigen linear unabhängigen Operationen der Gruppe, welche eine beliebige “Ebene” \(E_r\) (\(1\leqq r \leqq n\)) punktweise festlassen; auf die Tatsachen III endlich wurde der Verf. durch die Analyse des Raumproblems vom Standpunkte der Relativitätstheorie geführt, er leitet sie in dem oben genannten Buch (“Raumproblem”, Siebente Vorlesung) aus einem infinitesimalgeometrischen Prinzip ab.
Der in “Raumproblem”, Anhang 12, gegebene Beweis des Theorems, daß durch III die Drehungsgruppe gekennzeichnet ist, war (für \(n \geqq 3\)) so geführt worden, daß zunächst aus III gewisse Teilaussagen von I bzw. II gefolgert wurden, die das meiste zu leisten gestatten, daß aber gleichwohl “an entscheidender Stelle” direkt auf die Forderungen III zurückgegriffen wurde. In vorliegender Arbeit wird nun geradezu untersucht, wieweit diese Teilaussagen führen (Problem B). Die Lösung dieses Problems ergibt zugleich eine Lösung für die Frage nach allen infinitesimalen Gruppen linearer Transformationen, die I erfüllen (Problem A).
Während für \(n\neq 7\) und \(\neq 8\) die Drehungsgruppe \(\mathfrak{d}\) und die “durch Dilatationen erweiterte” Gruppe \(\bar{\mathfrak{d}}\) die einzigen Gruppen sind, die den beim Problem \(B\) genannten Teilaussagen genügen, treten für \(n=7\) und \(n = 8\) noch je eine Untergruppe von \(\mathfrak{d}\) bzw. \(\bar{\mathfrak{d}}\) auf. Diese “Ausnahmegruppen” werden beschrieben; im übrigen die Gruppe nach der gleichen Methode wie im “Raumproblem”, Anh. 12 konstruiert. (V 5 A.)
Reviewer: Bz.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Link EuDML
References:
[1] Vgl. die genaue Formulierung in der 5. meiner spanischen Vorlesungen über die mathematische Analyse des Raumproblems (deutsche Ausgabe, Springer 1923; ich zitiere sie im folgenden mitR).
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.