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Sopra un tipo di algebre prive di divisori dello zero. (Italian) JFM 49.0088.02

Ein bekannter Satz von Frobenius bestimmt alle Systeme hyperkomplexer Größen ohne Nullteiler, wenn der Koeffizientenbereich der aller reellen Zahlen ist; es ergeben sich die Systeme der komplexen Zahlen und der Quaternionen. Läßt man als Koeffizientenbereich einen beliebigen Körper zu, so ist die entsprechende Frage bisher nicht abschließend gelöst. Der Verf. beschäftigt sich im Anschluß an Untersuchungen von Dickson mit dem Fall, wo eine Größe des Systems einer Abelschen Gleichung des Grades \(n\) über dem betreffenden Körper genügt, und konstruiert einen Typus von nichtkommutativen Systemen hyperkomplexer Größen der Ordnung \(n^2\). Den entsprechenden Fall einer zyklischen Gleichung hatte Dickson vorher behandelt. Es werden auch die Darstellungen des Systems und des antistrophen Systems durch Matrizen untersucht. Wesentlichen Gebrauch macht die Untersuchung von der Galoisschen Gruppe der Gleichung und von deren Darstellung durch eine Basis. Es werden dann ferner die Bedingungen dafür untersucht, daß das System keine Nullteiler enthält, und insbesondere für \(n = 4\) notwendige und hinreichende Bedingungen aufgestellt. Beispiele zeigen, in wie hohem Maße sich die Frage gegenüber dem Frobeniusschen Falle kompliziert. Zum Schluß wird die Unabhängigkeit der Bedingungen gezeigt.

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References:

[1] Può vedersi, a proposito di questo concetto, il recente libro diG. Scorza,Corpi numerici e algebre [Messina, Principato, 1921].
[2] J. H. Maclagan Wedderburn,On hypercomplex numbers [Proceedings of the London Mathematical Society, (2), vol. VI (1908), pp. 77–118], p. 109. Cfr. anche, ad es.,G. Scorza, libro cit. 1), p. 340;G. Scorza,Le algebre di ordine qualunque e le matrici di Riemann [Rendicondi del Circolo Matematico di Palermo, t. XLV (1921), pp. 1–204], p. 82; L.E. Dickson,Linear Algebras [Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physic, n16, Cambridge, University Press, 1914], p. 66. In questi lavori, e specialmente nel libro delloScorza, può trovarsi una esposizione delle proprietà generali relative alle algebre lineari associative. · doi:10.1112/plms/s2-6.1.77
[3] Le algebre primitive e commutative Sono, manifestamente, dei corpi numerici.Nei corpi finiti tutte le algebre primitive sono commutative;v. Wedderburn,On a theorem on finite algebras [Transactions of the American Mathematical Society, vol. VI (1905), pp. 349–352], eScorza, libro cit. 1), pp. 450–454.
[4] L. E. Dickson,Linear associative algebras and abelian equations [Transactions of the American Mathematical Society, vol. XV (1914), pp. 31–46]. · doi:10.1090/S0002-9947-1914-1500963-8
[5] Scorza, libro cit. 1) ; Memoria cit. 2), pp. 33–34.
[6] Per n=2, n=3 ciò è stato dimostrato daDickson nella Memoria cit. 4); pern qualunque daWedderburn,A type of primitive Algebra [Trans. of the American Mathematical Society, vol. XV (1914), pp. 162–166]. · doi:10.1090/S0002-9947-1914-1500963-8
[7] Wedderburn,On division Algebras [Trans. of the American Mathematical Society, vol. XXII (1921), pp. 129–135]. · doi:10.1090/S0002-9947-1921-1501164-3
[8] V. la Memoria diWedderburn cit. in 8). Per il caso ciclico vedasi anche l’altra Memoria diWedderburn cit. in 7).
[9] V. Mem. cit. 8) (in nota).
[10] Scorza, libro cit. in 1).
[11] V. ad es.,L. Bianchi,Lezioni sulla teoria id gruppi di sostituzioni e delle equazioni algebriche secondo Galois [Pisa, Spoerri, 1899];H. Weber,Lehrbuch der Algebra, I er Bd. [Braunschweig, Vieweg und Sohn, 1912].
[12] Bianchi, libro cit. 14), p. 73 e segg.
[13] Dickson, loco cit. 4).
[14] (cfr. n7).
[15] Cfr., per quanto segue, ad es.Scorza, libro cit. 1), parte 2a, cap. V; oppureScoRZA, Memoria cit. 2), pp. 89–95.
[16] V. ad es.G. Frobenius,Ueber vertauschbare Matrizen [Sitzungsberichte der Königlich Preus. sischen Akademie der Wissenschaften (1896), pp. 601–614], p. 606. V. ancheScorza, libro cit. 1), p. 150 e segg.
[17] J. B. Shaw,Theory of linear associative Algebra [Transactions of the American Mathematical Society, vol. IV (1903), pp. 251–287], p. 256. · doi:10.1090/S0002-9947-1903-1500642-X
[18] Per le proprietà dei divisori elementari vedasi, ad es.,P. Muth,Theorie und Anwendung der Elementartheiler [Leipzig, Teubner, 1899]. Altre indicazioni su questi argomenti possono vedersi nella mia MemoriaSopra alcune operazioni algebriche sulle matrici [Annali della R. Scuola Normale Superiore di Pisa, t. XI, 1909].
[19] Vedasi per tutto ciò la mia Memoria, citata in 25), pp. 28–41.
[20] V. la mia Memoria, citata in 25)
[21] V. la mia Memoria, citata in 25), Cap. II.
[22] V., ad es.,Bianchi, loco cit. 14).
[23] V. ad es.Weber, loco cit. 14).
[24] Si confronti al riguardoP. G. Lejeune Dirichlet,Lezioni sulla teoria dei numeri, tradotte daA. Faifofer [Venezia, Tip. Emiliana, 1881], pp. 408 e segg.
[25] Dirichlet, loco cit. 38), p. 156.
[26] Dirichlet, loco cit. 38), p. 156, o, più in generale, p. 421.
[27] Si potrebbe fare ugual considerazione per la funzione {\(\phi\)}1; [cfr. la nota 40)].
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