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Verallgemeinerung eines Minkowskischen Satzes. I, II. (German) JFM 49.0101.03
Math. Z. 17, 1-34 (1923); 18, 173-200 (1923).
H. Minkowski [Math. Ann. 54, 91–124 (1901; JFM 31.0213.02)] hat folgenden Satz aufgestellt: Es seien \(n\) lineare Formen \[ y_k = \sum_{l=1}^n a_{kl}x_l \quad (k=1,\ldots,n) \] mit reellen Koeffizienten \(a_{kl}\) und der Determinante \(|a_{kl}|=D>0\) sowie irgend \(n\) reelle Zahlen \(\eta_1,\ldots, \eta_n\) gegeben. Dann ist die Ungleichung \[ \prod_{k=1}^n |y_k-\eta_k|\leq 2^{-n}D \tag{1} \] stets in ganzen Zahlen \(x_1,\ldots, x_n\) lösbar.
Bisher war der Beweis nur für \(n = 1\) und \(n = 2\) geführt worden. Der Verf. erledigt den Fall \(n = 3\). Es wird gezeigt, daß es zum Beweis der Lösbarkeit von (1) genügt, die Ungleichung \[ \sum_{k=1}^3 c_k(y_k-\eta_k)^2\leqq \frac{27}{64}c_1c_2c_3D^2 \] für geeignete positive \(c_1\), \(c_2\), \(c_3\) und ganzzahlige \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) zu beweisen; damit ist die Aufgabe zurückgeführt auf die Abschätzung der Minima von inhomogenen ternären quadratischen Formen mit ganzzahligen Variabeln. Der recht umfangreiche Beweis benutzt die Theorie der Reduktion der definiten ternären quadratischen Formen und gestattet eine anschauliche geometrische Deutung.

MSC:
11H46 Products of linear forms
11J20 Inhomogeneous linear forms
11H55 Quadratic forms (reduction theory, extreme forms, etc.)
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Full Text: DOI Link EuDML
References:
[1] Minkowski, H.: Diophantische Approximationen, Leipzig 1907, S. 42, Kap. II, §11, oder: Über die Annäherung an eine reelle Größe durch rationale Zahlen [Math. Ann.54 (1901), S. 91-124]; wieder abgedruckt Ges. Abh., Bd, S. 320-352.?Einen anderen Beweis des Satzes fürn=2 habe ich geliefert: Journ. f. Math.142 (1913), S. 278-282. · JFM 31.0213.02
[2] Siehe Voronoi, Journ. f. Math.134, S. 198-287, und136, S. 67-181.
[3] Diskontinuitätsbereich für arithmetische Äquivalenz. [Journ. f. Math.129 (1905), S. 220-274, oder Ges. Werke Bd. II, S. 53-100], § 8.
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