×

Vorlesungen über die Theorie der algebraischen Zahlen. (German) JFM 49.0106.10

Leipzig: Akad. Verlagsges. viii, 265 S. \(8^{\circ}\) (1923).
Von den älteren Lehrbüchern der Zahlentheorie war ohne Zweifel das Werk von Dirichlet-Dedekind das beste. Dies gilt besonders für die elementaren Teile der Theorie. Doch war der von Dedekind allein herrührende Teil, welcher sich mit der Theorie der algebraischen Zahlen befaßt, im Laufe der letzten Jahrzehnte etwas veraltet. Durch das Buch des Verf. wird nun eine Darstellung der Arithmetik gegeben, die den Leser von den Anfängen auf dem einfachsten bisher bekannten Wege bis zu ganz verborgenen modernen Ergebnissen aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper führt. An Klarheit und leicht faßlicher Schreibweise wird das Buch von dem klassischen Werke Dedekinds nicht übertroffen; andererseits reicht es durch die neuartige, tiefer gehende Behandlungsweise eines Teiles der Theorie und das weiter gesteckte Ziel über die Grenzen jenes Werkes hinaus. Es dürfte der Verf. somit ein Lehrbuch geschaffen haben, welches seine Bedeutung für einen längeren Zeitraum behalten wird.
Im Kapitel I werden in der üblichen Weise die einfachsten arithmetischen Sätze entwickelt: Euklidischer Algorithmus, eindeutige Zerlegbarkeit der natürlichen Zahlen in Primfaktoren, lineare Kongruenzen.
Im Kapitel II folgt nun eine ausführliche Besprechung der Abelschen Gruppen, Beweis des Fundamentalsatzes, Einführung der Charaktere. Auch über unendliche Abelsche Gruppen werden einige Sätze abgeleitet. Hierdurch wird es möglich, viele verschiedene Probleme der Zahlentheorie (Restklassen Potenzreste, Idealklassen, Geschlechter, Einheiten), bei denen es sich im Grunde um die Untersuchung Abelscher Gruppen handelt, ganz kurz zu erledigen. Es werden eben die einmal gewonnenen Sätze aus der Gruppentheorie benutzt. Das bringt eine Vereinfachung gegenüber den bisherigen Darstellungen mit sich und führt zu größerer Klarheit.
Kapitel III liefert die Aufstellung einer Basis für die Gruppe der Restklassen mit Anwendung auf die Theorie der Potenzreste.
In den übrigen Kapiteln des Buches wird die Theorie der algebraischen Zahlkörper entwickelt.
Im Kapitel IV werden die Eigenschaften der algebraischen Zahlen untersucht, soweit sie vom Begriff der Ganzzahligkeit unabhängig sind.
Die ganze algebraische Zahl wird eingeführt in Kapitel V, welches umfangreicher ist als die 4 ersten Kapitel zusammen. Die Notwendigkeit der Idealtheorie wird gezeigt und der Satz über die eindeutige Zerlegbarkeit der Ideale in Primideale bewiesen. Die Endlichkeit der Klassenzahl folgt in üblicher Weise aus dem Satz von Minkowski über lineare Formen; daraus ergibt sich dann, daß der größte gemeinsame Teiler von zwei algebraischen Zahlen \(\alpha\) und \(\beta\neq 0\) wirklich durch eine algebraische Zahl \(\gamma\) dargestellt werden kann. Hier wäre es vielleicht ratsam gewesen, auf die Lösbarkeit der Gleichung \(\alpha x+\beta y=\gamma\) in ganzen Zahlen \(x\) und \(y\) hinzuweisen. Der Satz von Dirichlet über die Einheiten wird klar und leicht verständlich abgeleitet. Es folgt ein Beweis des Satzes über die Primfaktoren der Körper-Diskriminante, und zwar gleich für Relativkörper, in der Art, wie es Dedekind für den gewöhnlichen Rationalitätsbereich ausgeführt hat. Außerdem werden noch die Zerlegungsgesetze aufgestellt für den quadratischen Körper, den Kreisteilungskörper und gewisse einfache Relativkörper.
In den folgenden Kapiteln werden transzendente Funktionen benutzt.
Im Kapitel VI wird die \(\zeta\)-Funktion von Dedekind eingeführt und eine wichtige Formel von Dirichlet und Dedekind abgeleitet, welche die Klassenzahl in Zusammenhang bringt mit dem Verhalten von \(\zeta(s)\) bei \(s = 1\). Anwendung auf den Kreisteilungskörper liefert dann den berühmten Satz von Dirichlet über die Primzahlen in arithmetischen Progressionen sowie die Irreduzibilität der Kreisteilungsgleichung.
Kapitel VII bringt die Anwendung der allgemeinen Theorie aus den Kapiteln V und VI auf den quadratischen Zahlkörper: quadratisches Reziprozitätsgesetz, Geschlechter, Aufstellung der \(\zeta\)-Funktion. Bei der Klassenzahlbestimmung ist die Berechnung eines Vorzeichens notwendig, nämlich des Vorzeichens der Gaußschen Summen, auf welche man also an dieser Stelle geführt wird.
Kapitel VIII ist besonders schön, aber auch schwieriger als die vorhergehenden Teile des Buches. Es werden nunmehr die Gaußschen Summen untersucht in einer vom Verf. 1919 entdeckten Verallgemeinerung auf beliebige algebraische Zahlkörper. Es gelingt, das Vorzeichen dieser Gauß-Heckeschen Summen auf funktionstheoretischem Wege zu bestimmen, durch Verallgemeinerung des von Cauchy und Dirichlet herrührenden Verfahrens zur Berechnung der gewöhnlichen Gaußschen Summen mit Hilfe der Transformationsformeln für die Theta-Funktionen. Der Verf. hatte bereits früher den algebraischen Zahlkörpern Theta-Funktionen mehrerer Variabeln zugeordnet und dafür eine Transformationsformel angegeben; die Anwendung einer etwas allgemeineren Formel gestattet nun die Berechnung der Gauß-Heckeschen Summen. Als Anwendung wird das quadratische Reziprozitätsgesetz für einen beliebigen algebraischen Zahlkörper in eleganter Weise abgeleitet und damit für dieses von Hilbert entdeckte Gesetz ein Beweis gegeben, der ganz bedeutend kürzer und übersichtlicher ist als die bisher bekannten. Durch einige Betrachtungen über den relativquadratischen Körper werden noch die sogenannten Ergänzungssätze zum quadratischen Reziprozitätsgesetz gewonnen, woraus sich eine Aussage zur Theorie der relativ-quadratischen Klassenkörper ergibt.
Die Lektüre des Buches wird Anfängern und Kennern des Gebietes die gleiche Freude bereiten. Es ist zu erwarten, daß die schöne Lehre von den ganzen Zahlen in Zukunft einen größeren Kreis von Anhängern gewinnen wird als bisher.

MSC:

11Rxx Algebraic number theory: global fields
11-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to number theory
Full Text: Link