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Algebraic numbers. Report of the Committee on algebraic numbers. National Research Council. (Bull. of the Nat. Res. Concil, vol. 5, Part. 3.). (English) JFM 49.0109.01

Washington. 96 S. gr. \(8^{\circ}\) (1923) (1923,1928).
Außerordentlich verdienstvolle Ergänzung des geschichtlichen Standardwerks von L. E. Dickson: “History of the theory of numbers” Vols. I, II (1919–20; JFM 47.0100.04), sowie das Referat zu Vol. III (1923; JFM 49.0100.12), diesmal unter Mitwirkung der genannten weiteren Gelehrten, in gleichem Geiste wie in jenem Werk. Die Literatur bis 1923 ist, abgesehen von der in Huberts klassischem Bericht besprochenen, wohl so gut wie restlos zitiert und berücksichtigt. Wieder bleibt dem Berichterstatter, will er die Fülle des äußerst konzentrierten Materials auch nur andeuten, nicht viel mehr übrig als die Überschriften der einzelnen Paragraphen zu geben. Die reiche Bibliographie, zumeist mit kurzer zusammenhängender Charakterisierung, wird jeweils im Werke selbst von jedem nachgeschlagen werden müssen, der das betreffende Gebiet lernend oder lehrend und schaffend betreten will.
Kap. I. Algebraische Zahlen. 1. Quadratische Körper. 2. Kubische Körper. 3. Galoissche Körper. 4. Abelsche Körper. 5. Die Einheiten eines allgemeinen Körpers. 6. Normen und Kongruenzen in einem allgemeinen algebraischen Körper. 7. Idealklassen. 8. Relativkörper, Klassenkörper, komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen. 9. Höhere Reziprozitätsgesetze und Kummersche Körper. 10. Verteilung der Primideale 11. Verschiedenes.
Kap. II. Kreisteilung. 12. Eigenschaften der Funktionen \(F_n(x)\), unter \(F_n(x) = 0\) die Gleichung für die primitiven \(n\)-ten Einheitswurzeln verstanden. 13. Irreduzibilität der Gleichung \(F_n(x) = 0\) für die primitiven \(n\)-ten Einheitswurzeln. 14. Irreduzibilität von Polynomen. 15. Die Gleichung für die Perioden \(e\) der \(p\)-ten Einheitswurzeln. 16. Die Kreisteilungsfunktion als binäre quadratische Form. 17. Verschiedene Resultate zur Kreisteilung. 18. Normen, Einheiten, Ideale, Teilbarkeit, Diskriminanten von (bzw. in) Kreisteilungskörpern. 19. Die Lagrangesche Resolvente und die Jacobische Zahl \(\psi\). 20. Unterkörper im Kreisteilungskörper und die Normalbasis bzw. Kreisteilungsperioden.
Kap. III. Die Henselschen \(p\)-adischen Zahlen. 21. Allgemeine Ringe. 22. Die rationalen \(g\)-adischen Zahlen. 23. Polynome in \(k(p)\). 24. Der Ring \(R(p,\alpha)\). 25. Ring \(R(p,\alpha)\) [mit \(F(\alpha) = 0\)], wenn \(F(x)\) in \(k(p)\) irreduzibel ist. 26. Der Körper \(k(p,\alpha)\). 27. Ring \(R(p,\alpha)\), wenn \(F(x)\) in \(k(p)\) reduzibel ist. 28. Die Fundamentalgleichung. 29. Diskriminanten und ihre Teiler. 30. Die Einheitswurzeln in \(k(p,\alpha)\). 31. Die Exponentialdarstellung der Zahlen von \(k(p,\alpha)\). 32. Die multiplikative Darstellung der Zahlen von \(k(p,\alpha)\). 33. Die Abelsche Gruppe der Reste in \(k(p,\alpha\)). 34. Das verallgemeinerte Legendresche Symbol. 35. Galoissche Körper. 36. Kummersche Körper. 37. Normenreste. 38. Ringideale.
Kap. IV. Funktionenkörper. 39. Allgemeine Körper. 40. Der Körper aller algebraischen Zahlen. 41. Körper rationaler Funktionen. 42. Der Körper aller algebraischen Funktionen einer Variablen. 43. Modularsysteme. 44. Moduln. 45. Die Arithmetik der hyperkomplexen Zahlen. -
Die Abschnitte l, 3–5 sind von Mitchell; 2, 6–9, ein Teil von 11, 18–20 von Vandiver; 10–17, 39–45 von Dickson; 21–38 von Wahlin.
Die fesselnden Abschnitte 10 und 11 sind als ganz besonders instruktiv für den derzeitigen Stand wichtiger Teile der modernen analytischen Zahlentheorie hervorzuheben.

MSC:

11Rxx Algebraic number theory: global fields
11-00 General reference works (handbooks, dictionaries, bibliographies, etc.) pertaining to number theory