×

zbMATH — the first resource for mathematics

Zur Theorie des quadratischen Hilbertschen Normenrestsymbols in algebraischen Körpern. (German) JFM 49.0113.02
Ist \(k\) ein beliebiger algebraischer Zahlkörper, \(\mathfrak l\) ein Primteiler der 2 in \(k\) und \(k(\mathfrak l)\) der ihm entsprechende perfekte Erweiterungskörper von \(k\), so wird durch das quadratische Hilbertsche Normenrestsymbol \(\left(\dfrac{\alpha, \beta}{\mathfrak l}\right)\) eine Funktion der beiden Variablen \(\alpha\), \(\beta\) aus \(k(\mathfrak l)\) mit den Werten \(\pm1\) definiert. Bezeichnen \(x\) und \(y\) die Exponentenreihen bei der Darstellung von \(\alpha\) und \(\beta\) durch ein Fundamentalsystem für die multiplikative Darstellung in \(k(\mathfrak l)\) (vgl. die auf S. 114 referierte Arbeit des Verf. mit K. Hensel), so hat diese Funktion die Form \[ \left(\frac{\alpha, \beta}{\mathfrak l}\right)=(-1)^{L(x/y)}, \] wo \(L(x/y)\) eine symmetrische Bilinearform der Variablenreihen \(x\) und \(y\) ist. Es wird gezeigt, daß man das zugrundegelegte Fundamentalsystem unter Erhaltung seiner sämtlichen arithmetisch-wichtigen Eigenschaften so in ein äquivalentes transformieren kann, daß \(L(x/y)\) in eine besonders einfache Normalform übergeht, nämlich in die sinngemäße Verallgemeinerung der Exponentialform in \[ \left(\frac{a, b}{2}\right)=(-1)^{x_1y_3+x_2y_2+x_3y_1}, \] die für den rationalen Zahlkörper \(K\) bei Zugrundelegung der Darstellungen \[ a=2^{x_1}(-1)^{x_2}5^{x_3},\quad b=2^{y_1}(-1)^{y_2}5^{y_3} \] durch das Fundamentalsystem 2, \(-1\), 5 von \(K(2)\) auftritt.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: Crelle EuDML