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Über die Normenreste eines relativ-zyklischen Körpers vom Primzahlgrad \(l\) nach einem Primteiler \({\mathfrak l}\) von \(l\). (German) JFM 49.0114.02
Es werden die Resultate einer vorangehenden Arbeit von K. Hensel [Math. Ann. 85, 1–10 (1922; JFM 48.0174.01)] auf den Fall eines Primteilers \(\mathfrak l\) des bei der Normenrestbildung vorliegenden Relativgrades \(\mathfrak l\) verallgemeinert, d. h. also folgende Fragestellung gelöst:
Ist \(k\) ein algebraischer Zahlkörper, der die \(l\)-ten Einheitswurzeln enthält (\(l\) beliebige Primzahl), \(\mathfrak l\) ein Primteiler von \(l\) in \(k\) und \(\alpha\) eine Zahl aus dem zugehörigen perfekten Erweiterungskörper \(k(\mathfrak l)\), die keine \(l\)-te Potenz in \(k(\mathfrak l)\) ist, so soll entschieden werden, welche Zahlen \(\beta\) aus \(k(\mathfrak l)\) Relativnorm einer Zahl des relativ-zyklischen Körpers \(k(\mathfrak l, \root l\of\alpha)\) vom Grade \(l\) über \(k(\mathfrak l)\) sind.
Zur Behandlung dieses Problems werden die Darstellungen von \(\alpha\) und \(\beta\) durch ein Fundamentalsystem für die multiplikative Darstellung in \(k(\mathfrak l)\) (vgl. K. Hensel [J. Reine Angew. Math. 146, 189–215 (1916; JFM 46.0251.01)] herangezogen. Es ergibt sich folgendes Resultat:
Zu jedem \(\alpha\) läßt sich ein besonderes, nach steigenden Graden seiner Einseinheiten geordnetes Fundamentalsystem \(\lambda, \eta_1, \ldots, \eta_{\mu}, \eta_{\alpha}\) so wählen, daß ein \[ \beta=\lambda^y\eta_1^{y_1}\cdots\eta_{\mu}^{y_{\mu}} \eta_{\alpha}^{y_{\alpha}}\beta_0^l\qquad (\mathfrak l) \] dann und nur dann Relativnorm aus \(k(\mathfrak l, \root l\of{\alpha})\) ist, wenn in dieser Darstellung von \(\beta\) der Exponent eines bestimmten (kritischen) Basiselements \(\not\equiv 0 \bmod l\) ist. Dieses kritische Basiselement ist
\(\begin{matrix} \text{a}) &\hfill \eta_{\alpha}, & \text{wenn} & \alpha = & \lambda^x\eta_1^{x_1}\cdots\eta_{\mu}^{x_{\mu}} \eta_{\alpha}^{x_{\alpha}}\alpha_0^l & (\mathfrak l) & \text{mit} & \hfill x\not\equiv 0\text{ mod}.\;l, \\ \text{b}) &\hfill \lambda, &,\!, & \alpha = & \hfill \eta_{\alpha}^{x_{\alpha}}\alpha_0^l & (\mathfrak l) & ,\!, & x_{\alpha}\not\equiv 0\text{ mod}.\;l, \\ \text{c}) & \left.\begin{cases} \, \text{ein}\;\eta_{\chi'}\,\text{mit} \\ 1\leqq \varkappa' \leqq\mu \end{cases}\right\}, & ,\!, & \alpha = & \hfill \eta_{\chi}^{x_{\chi}}\cdots\eta_{\mu}^{x_{\mu}} \eta_{\alpha}^{x_{\alpha}}\alpha_0^l & (\mathfrak l) &,\!, & x_{\chi}\not\equiv 0\text{ mod}.\;l. \\ \end{matrix} \)
Im letzteren Falle läßt sich ebenfalls eine genaue Bestimmung des Grades und des Hauptgliedes des kritischen Basiselementes \(\eta_{\chi'}\) durch Grad und Hauptglied von \(\alpha\) (d.h. von \(\eta_{\chi}\)) angeben.

MSC:
11R37 Class field theory
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Full Text: DOI EuDML
References:
[1] K. Hensel, Über die Normenreste und Nichtreste in den allgemeinsten relativ-Abelschen Zahlkörpern, Math. Ann.85 (1922), S. 1-10, im folgenden zitiert mit N. R. · JFM 48.0174.01 · doi:10.1007/BF01449596
[2] Siehe etwa D. Hilbert, Über dic Theorie des rel.-quadr. Zhhlkörpers, Math. Ann.51, (1989), S. 1 ff. und Ph. Furtwängler, Über die Reziprozitätsgesetze zwischenl-ten Potenzresten usw., Math. Ann.58 (1904), S. 1 ff.; Die Reziprozitätsgesetze für Potenzreste mit Primzahlexponenten usw., Math. Ann.67 (1909), S. 1 ff.;72 (1911), S. 346 ff.;74 (1913), S. 413 ff.; T. Takagi, Über eine Theorie des relativ-Abelschen Zahlkörpers, Journ. of Coll. of Science41, 3, Tokyo 1920. · JFM 29.0169.02 · doi:10.1007/BF01905120
[3] Ph. Furtwängler, Math. Ann.58, S. 47 unten, sowie die weiteren zitierten Arbeiten, insbesondere Takagi a. a. O., Satz 9, S. 28.
[4] Übertragung der beiden Arbeiten: H. Hasse, Über die Darstellbarkeit von Zahlen durch quadratische Formen im Körper der rationalen Zahlen und Über die Äquivalenz quadratischer Formen im Körper der rationalen Zahlen, J. f. Math.152 (1923), S. 129 ff. u. 205 ff. Beide Übertragungen erscheinen in J. f. Math.153. · JFM 49.0102.01
[5] K. Hensel, Die multiplikative Darstellung der algebraischen Zahlen für den bereich eines beliebigen Primteilers, J. f. Math.146, (1916), S. 189 ff., im folgenden zitiert mit M. D. · JFM 46.0251.01
[6] Siehe hierzu M. D., S. 212.
[7] Siehe hierzu K. Hensel, Zur multiplikativen Darstellung der algebraischen Zahlen für den Bereich eines Primteilers, J. f. Math.151 (1921), S. 210-212. · JFM 48.1170.02
[8] Daraus folgt noch die wichtige Tatsache, daß jede Einseinheit von höherem als demel/l?l-ten Grade ausk(l) einel-te Potenz ink(I) ist.
[9] K. Hensel, Die Zerlegung der Primteiler eines beliebigen Zahlkörpers in einem auflösbaren Oberkörper. J. f. Math.151 (1921), S. 200-203. · JFM 48.0175.01
[10] Diese sind mit positivem Zeichen verstanden.
[11] Diew l i sind mit denw i gleichzeitig modl linear unabhängig.
[12] Diese ist hier eine etwas andere als im vorhergehenden (S. 264).
[13] s?0 ist also nur fürt=l?1 eine ganze Zahl, so daß für 1?t<l?1 ein eventuelles Hindurchgehen einesa r durch den Scheitel des genannten Winkelraumes für die beabsichtigte Anwendung auf ganzzahliges belanglos ist. Fürt=l?1 geht nach Hilfssatz 1 tatsächlicha 1 durch den Scheitel, aber keines der übrigena 2, ...,a l?1 .
[14] Für ? setzen wir hier, wo es sich um die Grade der276-1 des Unterkörpers handelt, nach unseren früheren Festsetzungen ?.
[15] Letzteres ergibt sich unmittelbar aus der in M. D. entwickelten Regel zur Darstellung eines gegebenen Elements vonk(l) durch ein gegebenes Fundamentalsystem.
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