Über eine neue Art von \(L\)-Reihen. (German) JFM 49.0123.01

Artin, E.

Hamb. Math. Abh. 3, 89-108 (1923).

Bei den von Dirichlet eingeführten sogenannten \(L\)-Reihen \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }\chi(n)n^{-s}\) bedeutet \(\chi(n)\) einen Charakter der Gruppe der Restklassen nach einem Modul \(m\), also eine gewisse arithmetische Funktion mit der Periode \(m\). Bei Benutzung der \(L\)-Reihen gestattet das Zerlegungsgesetz der rationalen Primzahlen im Körper der \(m\)-ten Einheitswurzeln eine sehr einfache Formulierung; es ist nämlich gleichbedeutend mit der Aussage, daß die \(\zeta \)-Funktion dieses Körpers gleich dem Produkt aller \(L\)-Reihen ist, die zum Modul \(m\) gehören. Hecke hat auch \(L\)-Reihen in algebraischen Zahlkörpern definiert und mit ihrer Hilfe die Zerlegungsgesetze der relativ-Abelschen Körper in eine analoge Form gesetzt.
Der Verf. geht nun umgekehrt von der Zerlegung aus, und zwar allgemeiner von der Zerlegung der Primideale eines algebraischen Körpers in einem beliebigen relativ-Galoisschen Oberkörper \(K\). Er benutzt eine von Frobenius entdeckte Zuordnung der Primideale des Grundkörpers zu den Elementen der Galoisschen Gruppe \(\mathfrak H\) des Oberkörpers, um Dirichletsche Reihen zu bilden, deren Koeffizienten die Gruppencharaktere von \(\mathfrak H\) enthalten. Es wird gezeigt, daß eine gewisse Potenz dieser Funktionen darstellbar ist als Produkt von positiven und negativen \(L\)-Reihen aus solchen Körpern, in bezug auf welche der Körper \(K\) zyklisch ist; damit ist bewiesen, daß diese Potenz eine meromorphe Funktion ist und einer Funktionalgleichung genügt. Ist \(\mathfrak H\) eine Abelsche Gruppe, so gehen die Artinschen Reihen wegen des bekannten Gesetzes der Zerlegung der Primideale aus dem Grundkörper im relativ-Abelschen Oberkörper \(K\) in die Heckeschen \(L\)-Reihen über, deren Koeffizienten Restklassencharaktere sind. Es wird eine Vermutung von Frobenius über die Existenz von Primidealen mit gewissen Eigenschaften bewiesen.

Reviewer: Siegel, C., Prof. (Frankfurt a. M.)

JFM Section:

Zweiter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 8. Algebraische Zahlen. Asymptotische Abschätzung von zahlentheoretischen Funktionen. Gitterpunktprobleme.

References:

[1]	Vgl etwa J.Schut: Neue Begründung der Theorie der Gruppencharaktere, Sitzunglberiehte Berlin 1905, 8. 406. - Feraer A.Speiser: Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung. 10–12. Kapite].
[2]	Speiser: Gruppentheorie § 52, aus dem man die Formel (5) leieht ableitet. -Frobenius: Über Relationen zwischen den Charakteren einer Gruppe und denen ihrer Untergruppen, Sitzungsberichte Berlin 1898.
[3]	Frobenius: Üer Beziehungen zwischen Primidealen eines algebraischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe. Sitzungsberichte Berlin 1896. · JFM 27.0091.04
[4]	Vgl. E.Artin: Über die Zetafunktionen gewisser algebraischer Zahlkörper, Math. Ann. Bd. 89, wo die Relationen in speziellen Fällen gewonnen werden.
[5]	E.Hecke: Über eiue neue Anwendung der Zetafunktion auf die Arithmetik der Zahlkörper. Göttinger Nachrichten 1917. · JFM 46.0257.01
[6]	VergleieheTeiji Takagi: Über eine Theorie des relativ Abelschen Zahlkörpers. Journal of the College of Science. Tokyo 1920. Im folgenden mit Takagi zitiert. · JFM 47.0147.03
[7]	Teiji Takagi, Über das Reziprozitätsgesetz in beliebigen algebraischen Zahlkörpen. Journal of the College of Science. Tokyo 1922. · JFM 48.0169.01
[8]	E.Landau, Über Ideale und Primideale in Idealklassen. Math. Zeitschrift Bd. 2, Seite 104, Satz LXVI. · JFM 46.0259.01