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Über die Zetafunktion gewisser algebraischer Zahlkörper. (German) JFM 49.0123.02
Es handelt sich um die Frage, ob die Zetafunktion eines Körpers \(K\) durch die Zetafunktion eines Unterkörpers \(k\) von \(K\) teilbar ist, worüber bisher nur in den speziellen Fällen der relativ-Abelschen Körper etwas ausgesagt werden konnte. Obwohl nun die Natur der Zerlegungsgesetze in anderen Relativkörpern noch gar nicht genauer bekannt ist, kann Verf. für manche andere Arten von Körpern die Frage in bejahendem Sinn entscheiden, indem er eine einfache, aber sehr bemerkenswerte Verallgemeinerung der Hilbertschen Sätze über Galoissche Körper auf nicht-Galoissche Körper vornimmt: Zu jeder rationalen Primzahl \(p\) und einem algebraischen Körper \(K\) gehört eine völlig bestimmte abstrakte (zyklische) Gruppe, die Zerlegungsgruppe eines Primfaktors von \(p\) in dem zu \(K\) gehörigen Galoisschen Körper. Schreibt man diese abstrakte Gruppe als Permutationsgruppe der konjugierten Zahlen in \(K\), und zerfällt die erzeugende Permutation dieser zyklischen Gruppe dann in \(e\) Zyklen von je \(f_1,\ldots,f_e\) Elementen, so zerfällt \(p\) in \(K\) in genau \(e\) Primideale bzw. von den Graden \(f_1,\ldots,f_e\) (\(p\) ist dabei teilerfremd zur Diskriminante angenommen.) Mit Hilfe dieses Satzes gelingt es Verf. nun in höchst einfacher Art, durch Diskussion der verschiedenen Zerlegungsmöglichkeiten, für viele neue Klassen von Körpern, insbesondere für metazyklische Körper von quadratfreiem Relativgrade, aber auch für die Ikosaederkörper die Teilbarkeit ihrer Zetafunktionen durch die der Grundkörper nachzuweisen. Als Nebenresultat erscheint eine Reihe von Relationen zwischen den Zetafunktionen verschiedener Körper von ganz neuartigem Charakter.

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References:
[1] Dedekind: Über die Anzahl der Idealklassen in reinen kubischen Körpern, J. f. Math.121 1920, S. 40 f.
[2] Takagi, T.: Über eine Theorie des relativ Abelschen Zahlkörpers, Journal of the College of Science, Tokyo 1920, § 23, 24. · JFM 47.0147.03
[3] Weber, H.: Lehrbuch der Algebra,3, § 163 f.
[4] Hecke, E.: Über eine neue Anwendung der Zetafunktion auf die Arithmetik der Zahlkörper. Göttinger Nachrichten 1917. · JFM 46.0257.01
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