×

Der Summensatz von Cauchy in beliebigen algebraischen Zahlkörpern und die Diskriminante derselben. (German) JFM 49.0125.02

In dieser Arbeit wird unter Benutzung des Fourierschen Integraltheorems eine sehr allgemeine Beziehung zwischen zwei unendlichen Reihen bewiesen, welche als spezielle Fälle mehrere Formeln (wie z. B. die Theta-Transformationsformel) ergibt, die in neuerer Zeit von verschiedenen Autoren (Siegel, Hecke) im Anschluß an algebraische Zahlkörper mit der Methode der Entwicklung in Fouriersche Reihen hergeleitet wurden. Der Typus dieser Formel wird durch folgendes (bereits etwas spezialisierte) Beispiel gekennzeichnet: \[ \begin{aligned} &N(\mathfrak a)|\sqrt D|\sum_{\lambda }F\left(\lambda^{(1)}x^{(1)},\ldots,\lambda^{(n)}x^{(n)}\right)\\ &=\frac{1}{x^{(1)}\ldots x^{(n)}}\sum_\mu G \left(\frac{\mu^{(1)}}{x^{(1)}},\cdots,\frac{\mu^{(n)}}{x^{(n)}}\right). \end{aligned} \] Hierin ist \(D\) die Körperdiskriminante, \(x^{(1)},\ldots,x^{(n)}\) sind positive Variable, \(\lambda\) durchläuft alle Zahlen eines Ideals \(\mathfrak a\), \(\mu \) die des komplementären Ideals, \(\lambda ^{(1)},\ldots,\lambda ^{(n)}\) sind die konjugierten Zahlen zu \(\lambda \) (bzw. die reellen und imaginären Teile derselben), entsprechend \(\mu ^{(1)},\ldots,\mu ^{(n)}\); endlich ist \(F(x^{(1)},\ldots,x^{(n)})\) eine sehr allgemeine Funktion von \(n\) reellen Variabeln und \(G\) die zu \(F\) vermöge des Fourierschen Integraltheorems konjugierte Funktion. Die bisher benutzte Methode der Fourierentwicklung liefert natürlich ebenfalls diese Formel.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML Link

References:

[1] Siegel, C. L.: ?Über die Diskriminanten total reeller Körper?, Göttinger Nachrichten 1922, S. 17-24. · JFM 48.0166.01
[2] Ausführung fürn=1 z. B. bei H. Weber: Die partiellen Differentialgleichungen der mathematischen Physik1, §§ 18-19; der Schluß vonn aufn+1 ist unmittelbar.
[3] Jeweilig evidente Erweiterungsmöglichkeiten werden in den später folgenden Formeln (§§ 5-7) nicht erst besonders hervorgehoben.
[4] Auch Poisson, Fourier und Gauß wären hier zu nennen; strenge Beweise sind erst nach Dirichlets Fundierung der Theorie der Fourierreihen möglich geworden; Literatur etwa bei A. Krazer: Lehrbuch der Thetafunktionen, Leipzig 1903, S. 98.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.