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Some problems of “Partitio numerorum”. V: A further contribution to the study of Goldbach’s problem. (English) JFM 49.0127.03
Schon in der dritten ihrer Abhandlungen über “Partitio numerorum” [Acta Math. 44, 1–70 (1923; JFM 48.0143.04)] hatten die Verff. ihre neue analytisch-zahlentheoretische Methode auf das Goldbachsche Problem angewendet; dort wie hier fußen aber (und das erscheint naturgemäß) alle ihre Ergebnisse auf einer noch unbewiesenen Voraussetzung: der auf alle Dirichletschen \(L\)-Funktionen erweiterten Riemannschen Vermutung (oder einer etwas geringeren Annahme). In P. N. III befaßten sie sich allerdings noch nicht mit der Goldbachschen Vermutung selbst (“jede gerade Zahl \(\geq 6\) ist Summe von zwei ungeraden Primzahlen”), sondern mit einer entsprechenden Vermutung über Zerlegung in drei Primzahlen; in bezug auf Zerlegung in zwei Primzahlen versagte ihre damalige Methode.
Inzwischen gingen sie dazu über, anstatt der Anzahl der Zerlegungen einer Zahl in eine feste Anzahl von Primzahlsummanden den (quadratischen) Mittelwert dieser Zerlegungszahlen zu betrachten; durch diese Mittelung wird die Tragweite der Methode so weit vergrößert, daß die Verf. in der vorliegenden Arbeit die Zerlegbarkeit “fast aller” großen geraden Zahlen in zwei Primzahlsummanden beweisen können. Dabei ist “fast alle” so zu verstehen, daß die Anzahl der etwaigen geraden Zahlen \(\leq x\), die nicht zerlegbar sind, \(o(x)\) ist; und über dies schon höchst bedeutende Ergebnis hinaus finden die Verf. sogar \(O\left(x^{\frac {1}{2}+\varepsilon }\right)\) für jedes \(\varepsilon > 0\). Daraus folgt insbesondere auch leicht der Satz aus P. N. III, daß jede große ungerade Zahl (unter der genannten Annahme!) in drei Primzahlsummanden zerlegbar ist.
Die Fallunterscheidung (bei der Betrachtung von Fareybrüchen, die auch hier natürlich vorkommen) auf S. 52 nach “not adjacent” bzw. “adjacent” ist übrigens inkorrekt; es sollte \(|hK - kH| >1\) bzw. \(= 1\) heißen.

MSC:
11P32 Goldbach-type theorems; other additive questions involving primes
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