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Concerning the cut-points of continuous curves and of other closed and connected point-sets. (English) JFM 49.0143.01

Eine Punktmenge \(M\) hängt zusammen, wenn aus \(M = M_1 + M_2\) folgt, daß entweder \(M_1\) einen Punkt oder Limespunkt von \(M_2\) enthält, oder umgekehrt. \(M\) hängt im engeren Sinne zusammen, wenn je zwei Punkte einer abgeschlossenen zusammenhängenden Untermenge gehören. Jede abgeschlossene zusammenhängende beschränkte Punktmenge enthält mindestens zwei Punkte, die man fortnehmen darf, ohne den Zusammenhang zu verletzen. Keine abgeschlossene zusammenhängende Punktmenge \(M\) enthält eine abgeschlossene zusammenhängende Untermenge \(K\), zu der eine nichtabzählbare Menge von Punkten gehört, die man fortlassen könnte, ohne den Zusammenhang von \(K\) zu zerstören, während der Zusammenhang von \(M\) dabei zerstört wird. Ist \(M\) eine stetige Kurve, die keine einfache geschlossene Kurve enthält, und ist \(AXB\) ein einfacher stetiger Kurvenbogen, der ganz in \(M\) liegt, so hat jeder Punkt \(X\) von \(AXB\) (mit etwaiger Ausnahme der Endpunkte) die Eigenschaft, daß \(M - X\) nicht zusammenhängt. Ist die geschlossen zusammenhängende Menge \(M\) keine stetige Kurve, so gibt es zwei konzentrische Kreise \(K_1\) und \(K_2\) und eine abzählbare Folge \(M, M_1, M_2, \ldots\) abgeschlossener zusammenhängender Punktmengen mit folgenden Eigenschaften. Jede Menge dieser Folge ist Untermenge von \(M\) und enthält Punkte von \(K_1\) und \(K_2\), aber keine Punkte, die weder auf, noch zwischen \(K_1\) und \(K_2\) liegen. Keine Menge der Folge ist eigentliche Untermenge einer zusammenhängenden, nur von Punkten auf und zwischen \(K_1\) und \(K_2\) bestehenden Menge. Die Menge \(M\) besteht aus den Limespunkten von Punktfolgen, die entsprechend aus Punkten von \(M_1, M_2, \ldots\) bestehen. Eine notwendige und hinreichende Bedingung, daß eine abgeschlossene zusammenhängende beschränkte Punktmenge \(M\) eine stetige Kurve sei, ist, daß jede geschlossene zusammenhängende Untermenge von \(M\) eine nichtabzählbare Menge von Punkten \(X\) enthält, mit der Beschaffenheit, daß \(M - X\) nicht zusammenhängt. Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die stetige Kurve \(M\) keine einfache geschlossene Kurve enthält, ist, daß (wenn \(K\) die Menge aller Punkte von \(M\) ist, deren Wegnahme den Zusammenhang von \(M\) nicht verletzt) im engeren Sinne jede Menge zusammenhängend ist, die sich aus \(M\) durch Weglassung einer willkürlichen Untermenge von \(K\) bilden läßt.