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Ein Satz über Kettenbrüche, mit arithmetischen Anwendungen. (German) JFM 49.0159.03
Verf. zeigt, daß gewisse Sätze über diophantische Approximationen bedeutend verschärft werden können, wenn man die Gültigkeit nicht für alle Zahlen, sondern nur für fast alle Zahlen (im Lebesgueschen Sinn) fordert. Der Hauptsatz lautet: Ist
\[ a_0 + \frac {1|}{|a_1} + \frac {1|}{|a_2} + \frac {1|}{|a_3} + \cdots \] die regelmäßige Kettenbruchentwicklung einer irrationalen Zahl \(x\), so ist für fast alle x und für beliebig kleines \(\varepsilon\)
\[ a_1 + a_2 + \cdots + a_n = o(n^{1+\varepsilon}). \]
Das ist um so bemerkenswerter, als die schärfere Beziehung
\[ a_1 + a_2 + \cdots + a_n = O(n) \]
für fast alle \(x\) falsch ist.
Sierpiński hat bewiesen, daß für alle irrationalen \(x\)
\[ \sum_{k=1}^n \rho (kx) - \frac n2=o(n) \]
ist, wobei \(\rho(x)\) den kleinsten positiven Rest von \(x \bmod 1\) bedeutet. Wie Khintchine zeigt, läßt diese Abschätzung nicht die geringste Verschärfung zu, sofern sie noch für alle irrationalen \(x\) gelten soll; begnügt man sich aber mit fast allen \(x\), so ergibt sich aus dem obigen Hauptsatz die viel schärfere Formel
\[ \sum_{k=1}^n\rho(kx) - \frac n2= o(\log^{1+\varepsilon}n). \] Ein weiterer Satz bezieht sich auf die lineare Gleichverteilung und lautet: Ist \(F (n, \delta, x)\) die Anzahl derjenigen unter den Zahlen
\[ \rho(x), \rho(2x), \ldots, \rho(nx), \]
welche im Intervall \(\delta\) liegen, und ist \(\delta'\) die Länge von \(\delta\), so ist für fast alle \(x\)
\[ F(n, \delta, x) - \delta'n = o(\log^{1+\varepsilon}n). \]
Schließlich noch ein zweidimensionaler Satz: Ist \(P\) ein ebenes Polygon und \(P_t\) das von einem festen Punkt \(O\) aus im Verhältnis \(t:1\) dilatierte Polygon, so wird die Anzahl der Gitterpunkte in \(P_t\) sich ändern, wenn das Koordinatensystem um einen Winkel \(\alpha\) um \(O\) gedreht wird; bezeichnet dann \({\mathfrak K}_t\) die Anzahl der Gitterpunkte in \(P_t\) und \(I_t\) den Flächeninhalt von \(P_t\), so ist für fast alle Drehwinkel \(\alpha\)
\[ \mathfrak K_t-I_t = O(\log^{1+\varepsilon}t). \] (II 9.)

MSC:
11J70 Continued fractions and generalizations
11K50 Metric theory of continued fractions
11J54 Small fractional parts of polynomials and generalizations
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