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Momentprobleme für ein endliches Intervall. (German) JFM 49.0193.01
Verf. hat bereits bei anderer Gelegenheit [Math. Z. 9, 74–109, 280–299 (1921; JFM 48.2005.01; JFM 48.2005.02)] eine einfache neue Lösung des Momentproblems \[ \mu_k = \int_0^1 x^k \,d\chi (x); \quad k = 0, 1, 2, \dots, \] gegeben; hier wird jene Lösung noch einmal so abgeleitet, daß neben den früheren approximierenden Treppenfunktionen auch Polynomfolgen \(\to \chi(x)\) explizit aufgestellt werden, die schließlich die integrierte Legendresche Reihe der Belegungsfunktion \(\chi(x)\) ergeben. Die nun recht durchsichtige Lösung wird dann auch auf das klassische trigonometrische (Fouriersche) Momentproblem übertragen.
\(\chi(x)\) wird in der Weise normiert, daß man \(\chi(0) = 0\), \(2\chi(x) = \chi(x+0) + \chi(x-0)\) festsetzt, wodurch die Lösung – falls vorhanden – eindeutig wird. Soll \(\chi(x)\) monoton ausfallen, so muß jedem in \((0, 1)\) nichtnegativen Polynom \(f(x) = a_0 + \cdots + a_n x^n\) auch ein nichtnegatives Moment \(Mf(x) = a_0\mu_0 + \cdots + a_n\mu_n\) entsprechen; speziell gilt dies für \[ \lambda_{p, m}(x) = \binom{p}{m} x^m (1-x)^{p-m}, \quad m \le p, \tag{1} \]
\[ \lambda_{p, m} = M\lambda_{p, m}(x) = \binom{p}{m} \left[\mu_m \binom{p-m}{1} \mu_{m+1} + \cdots + (-1)^{p-m} \mu_p\right]; \] es erweist sich dann, daß die Forderung der “totalen Monotonie” für die Folge der \(\mu_p\): \[ \lambda_{p, m} \ge 0 \tag{2} \] für \(m \le p\); \(p = 0, 1, \ldots\) nicht nur eine notwendige, sondern auch eine hinreichende Bedingung für die Existenz eines monotonen \(\chi(x)\) darstellt.
Man setze dann allgemein: \[ \chi_p(0) = 0, \quad \chi_p(1) = \mu_0, \tag{3} \]
\[ \chi_p(x-0) = \sum_{m < px} \lambda_{p, m}, \quad \chi_p(x+0) = \sum_{m \le px} \lambda_{p, m}, \] so lautet die Lösung: \[ \chi(x) = \lim_{p\to\infty} \chi_p(x). \tag{4} \] Setzt man ferner: \[ \chi_p^*(x) = \int_0^x (p +1) \sum_{m=0}^p \lambda_{p, m} \lambda_{p, m}(x)\,dx, \] so gilt auch mit diesen Polynomen: \[ \chi(x) = \lim_{p\to\infty} \chi_p^*(x); \tag{5} \] es entspricht dies der Darstellung von \(\chi(x)\) durch eine integrierte Legendresche Reihe \[ \chi(x) = \lambda_0 \int_0^x L_0(x)\, dx + 3\lambda_1 \int_0^x L_1(x)\,dx + 5\lambda_2 \int_0^x L_2(x)\, dx + \cdots; \tag{6} \]
\[ L_p(x) = \frac{1}{p!} \frac{d^p}{dx^p} [x(x-1)]^p = P_p(2x - 1); \quad \lambda_p = ML_p(x), \] immer unter Voraussetzung von (2).
Soll \(\chi(x)\) nur von beschränkter Schwankung sein, so hat man als hinreichende und notwendige Bedingung: \[ \sum_{m=0}^p |\lambda_{p, m}| \le L < \infty; \tag{7} \] bestimmt man, wie vorhin, die zu \[ \lambda_{p, m}^{\text I} = \tfrac12 |\lambda_{p, m}| + \tfrac12 \lambda_{p, m}, \quad \lambda_{p, m}^{\text{II}} = \tfrac12 |\lambda_{p, m}| - \tfrac12 \lambda_{p, m} \tag{8} \] gehörenden Treppenfunktionen \(\chi_p^{\text I}(x)\), \(\chi_p^{\text{II}}(x)\), so erhält man die Lösung \[ \chi(x) = \chi^{\text I}(x) - \chi^{\text{II}}(x). \tag{9} \] Besonders wichtig ist die Forderung: \[ \chi(x) = \int_0^x \varphi(x)\,dx; \tag{10} \] damit die Dichtigkeitsfunktion \(\varphi(x)\) beschränkt ausfällt, ist notwendig und hinreichend, daß man stets habe \[ (p + 1) |\lambda_{p, m}| \le L_* < \infty; \tag{11} \] damit \(\varphi(x)\) in der \(a\)-ten Potenz \((a > 1)\) integrierbar sei, muß \[ (p + 1)^{a-1} \sum_{m=0}^p |\lambda_{p, m}|^a \le L^a < \infty \tag{\(11^*\)} \] sein; eine kompliziertere Bedingung für \(a = 1\) läßt sich ebenfalls explizit angeben. Die Übertragung aller Resultate auf das Fouriersche Problem erfolgt ohne Schwierigkeiten.
Die in den angegebenen Kriterien auftretenden Summen lassen sich in einfacher Weise durch Integrale ersetzten. Ferner lassen sich alle so für die Fourierreihen gewonnenen Kriterien direkt auf Potenzreihen übertragen.

MSC:
44A60 Moment problems
42A70 Trigonometric moment problems in one variable harmonic analysis
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Full Text: DOI EuDML
References:
[1] Stieltjes, T. J.: Recherches sur les fractions continues, Ann. Fac. Toulouse8 (1894), S. 1-122;9 (1895), S. 1-47.
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[5] Helly, E.: Über lineare Funktionaloperationen, Wiener Akad. Ber.121 (1912), S. 265-297. Der Satz ist völlig elementaren Charakters. · JFM 43.0418.02
[6] Wir verwenden in den verschiedenen Lösungen dieselben Bezeichnungen? p (x),? p (x) für die approximierenden Belegungs- und Dichtigkeitsfunktionen.
[7] Ch.-J. de la Vallée Poussin: Sur l’approximation des fonctions d’une variable réelle et de leurs dérivées par des polynômes et des suites limitées de Fourier, Bull. classe des sciences Acad. Roy. Belg., 1908, S. 193-254. Unsere von der dortigen unwesentlich abweichende Erklärung der Summe findet sich auch bei M. Plancherel: Sur la sommation des séries de Laplace et de Legendre, Rend. Palermo33 (1912), S. 41-66. · JFM 39.0329.02
[8] Fejér, L.: Über die Laplacesche Reihe, Math. Ann.,67, (1909), S. 76-109. · JFM 40.0499.01
[9] Da ihre Glieder, wie leicht zu sehen, \( = o\left( {\frac{1}{m}} \right)\) sind, kann man aus ihrer Summierbarkeit irgendwelcher Ordnung auf Konvergenz, sogar auf Summierbarkeit negativer Crdnung >?1 schließen (Satz von Hardy-Littlewood).
[10] A. a. O. 3) habe ich erst dies bewiesen und daraus Satz II gefolgert.
[11] Carathéodory, C.: Über den Variabilitätsbereich der Fourierschen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen, Rend. Palermo32 (1911), S. 193-217; Toeplitz, O.: Über die Fouriersche Entwicklung positiver Funktionen, ib. S. 191-192; Fischer, E.: Über das Carathéodorysche Problem, Potenzreihen mit positivem reellen Teil betreffend, ib. S. 240-256. Vgl. Zusatz (?) am Schluß. · JFM 42.0429.01
[12] Man könnte ? vgl. Anm. 15) ? auch die Treppenfunktion wählen, die an den Stellent 2m die Sprünge 2?? p,2m macht (m=0, 1, ...,p).
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