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Sur le problème des moments. III. (French) JFM 49.0195.01

Während für die beiden ersten Noten des Verf. zum gleichen Thema (Ark. 16, Nr. 12 u. 19) die volle Beweisführung noch aussteht und auch deren Besprechung daher einem weiteren Zeitpunkte vorbehalten bleiben soll, werden hier abschließende Resultate gegeben und begründet, die sich übrigens zum Teil mit den fast gleichzeitigen, auf ganz anderem Wege abgeleiteten von R. Nevanlinna decken (Ann. Ac. Scient. Fenn. 18, Nr. 5; 1922).
Mit Stridsberg wird in bekannter Weise jedem Polynom \[ f(t) = x_0 + x_1t + \cdots + x_n t^n \] sein symbolisch bezeichnetes Moment \[ f(c) = x_0c_0 + x_1 c_1 + \cdots + x_n c_n \] zugeordnet. Man erhält so eine distributive Funktionaloperation, die als positiv bezeichnet wird, wenn aus \(f(t) \geqq 0\) für \(-\infty < t< \infty\) auch \(f(c) \geqq 0\) folgt; diese Bedingung ist bekanntlich notwendig und hinreichend dafür, daß das Momentenproblem \[ \int_{-\infty}^\infty t^n \, d\varphi(t) = c_n; \quad n = 0, 1, 2, \dots \tag{1} \] eine nichtfallende Lösung \(\varphi(t)\) zuläßt; auch die Folge der \(c_n\) heiße dann positiv. Hier werden nun ergänzende Kriterien für die Ein- bzw. Vieldeutigkeit der Lösung aufgestellt. Die Methode läßt sich auf den Fall von Momenten in bezug auf beliebige linear unabhängige Grundfunktionen \(\lambda_0(t), \dots, \lambda_n(t), \dots\) statt der Potenzen \(1, \dots, t^n, \dots\) ausdehnen.
Zum Grundsystem \(1, \dots, t^n, \dots\) werde eine weitere, nicht polynomische Funktion \(F(t)\) adjungiert; es sei \(F_*(t)\) ein beliebiges “unteres” Polynom zu \(F(t)\) mit \(F_*(t) \leqq F(t)\) für beliebige reelle \(t\), \(F^*(t)\) ein “oberes” solches Polynom mit \(F^*(t) \geqq F(t)\), \(\underline F(c)\) und \(\bar F(c)\) seien die obere bzw. untere Grenze der zugehörigen Momente \(F_*(c)\) bzw. \(F^*(c)\). Existiert kein \(F_*(t)\) bzw. \(F^*(t)\), so setze man \(\underline F(c) = -\infty\) bzw. \(\bar F(c) = +\infty\); i. a. wird dann \(-\infty \leqq \underline F(c) \leqq \bar F(c) \leqq +\infty\). Es gilt der folgende Hauptsatz:
Sei \(F(t)\) für \(-\infty < t < \infty\) eine beliebige nicht polynomische stetige Funktion, deren absoluter Betrag für hohe \(|t|\) langsamer wachst als eine endliche Potenz von \(|t|\). Damit das Momentenproblem (1) mit \(d\varphi(t) \geqq 0\) eindeutig lösbar sei, ist notwendig und hinreichend, daß man stets habe: \[ \underline F(c) = \bar F(c). \] Im allgemeinsten Falle einer positiven Folge \(c_n\) kann man zum Grundsystem \(1, \dots, t^n, \dots\) ein weiteres \(F_1(t), \dots, F_m(t), \dots\) schrittweise adjungieren, wobei man jeweilig, wie oben, die untere und obere Grenze in bezug auf die früheren Funktionen bestimme; im Falle der Verschiedenheit dieser Grenzen wähle man für das zugeordnete Moment \(F_m(c)\) irgend einen Wert zwischen jenen beiden. Nunmehr sei \(\xi_1, \dots, \xi_m, \dots\) eine abzählbare Menge von reellen Werten, die zwischen \(-\infty\) und \(+\infty\) überall dicht liegen, und man wähle jetzt: \[ \begin{aligned} F_m(t) & = \begin{cases} 1 & \text{ für } t \leqq \xi_m,\\ 0 & \text{ für } t > \xi_m; \end{cases} \\ \varphi(\xi_m) & = F_m(c). \end{aligned} \] \(\varphi(\xi_m)\) ist eine nirgends fallende Funktion, deren entsprechende Ergänzung für alle reellen \(t\) ohne weiteres möglich ist; dieses \(\varphi(\xi_m)\) stellt tatsächlich eine Lösung des Momentenproblems (1) dar.
Diese sehr allgemeine Lösung verlangt den im oben festgesetzten Sinne positiven Charakter der Folge \(c_0, \dots, c_n, \dots\), wofür nun neue Kriterien gegeben werden. Unter allen Polynomen mit \(h(\alpha) = 1\) bei gegebenem, beliebig komplexem \(\alpha\), sei dasjenige gesucht, für das \(|h(c)| =\) Min. ausfällt; m. a. W. soll \[ \sum_{i, k = 0}^n c_{i+k} x_i \bar{\varkappa}_k = \text{ Min } = \varrho_n(\alpha) \text{ für } x_0 + x_1\alpha + \cdots + x_n\alpha^n = 1 \tag{2} \] erreicht werden. Man findet: \[ \begin{aligned} h(t) & = \begin{vmatrix} 0 & t^k \\ \bar \alpha^i & c_{i+k} \end{vmatrix}_0^n : \begin{vmatrix} 0 & \alpha^k \\ \bar \alpha^i & c_{i+k} \end{vmatrix}_0^n; \\ \varrho_n(\alpha) & = -| c_{i+k}|_0^n : \begin{vmatrix} 0 & \alpha^k \\ \bar \alpha^i & c_{i+k} \end{vmatrix}_0^n; \end{aligned} \tag{3} \] \(\varrho_n(\alpha)\) fällt mit absolut wachsendem Imaginärteil \(|y|\) von \(\alpha = x + iy\); dagegen kann \(\varrho_n (\alpha) > 0\) natürlich mit \(n\) nicht wachsen, so daß \[ \varrho(\alpha) = \lim_{n\to\infty} \varrho_n(\alpha) \tag{4} \] sicher existiert; das Momentenproblem (1) ist [mit \(d\varphi(t) \geqq 0\)] eindeutig lösbar, falls für alle komplexen \(\alpha\) \(\varrho(\alpha) = 0\) ausfällt; hierfür genügt, daß \(\varrho(\alpha)\) wenigstens in einem einzigen Punkte verschwinde.
Die erhaltenen Resultate beleuchten und ergänzen in vieler Hinsicht manches früher Gewonnene, insbesondere die Stieltjes-Hamburgersche Kettenbruchtheorie des Problems. Das beste direkte Kriterium der Arbeit für die Bestimmtheit der Lösung ist die Beschränktheit von \(\varliminf \dfrac{\root\uproot 3{2n}\of{c_{2n}}}{n}\), was mehr besagt als die früheren Resultate der Literatur, mit Ausnahme des Carlemanschen Kriteriums: \[ \sum \frac{1}{\root\uproot 3{2n}\of{c_{2n}}} \to \infty. \]

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