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Sur les fonctions entières vérifiant une classe d’équations différentielles. (French) JFM 49.0216.02
Aus einer früheren Arbeit des Verf. (Ann. de l’Éc. Norm. (3) 37, 219-253, vgl. F. d. M. 47, 301 (JFM 47.0301.*), 1919-20) können gewisse Beziehungen entnommen werden zwischen dem Maximum des absoluten Betrages einer ganzen Funktion \(f(z)\) für \(|z| = r\), dem Stellenzeiger \(n = n(r)\) des für \(|z| = r\) absolut größten Gliedes der Taylorentwicklung und den sukzessiven Ableitungen \(f^{(j)}(z)\). Gestützt auf diese Beziehungen, gelingt es den Satz zu beweisen, daß eine ganze Funktion, die einer linearen Differentialgleichung mit rationalen Koeffizienten genügt, von gesterntem Exponentialtypus ist. Dabei heißt eine ganze Funktion \(f(z)\) “von gesterntem Exponentialtypus”, wenn, abgesehen von gewissen Ausnahmsintervallen von \(r\), das Maximum \(M (r)\) von \(|f(z)|\) für \(|z| = r\) die Form \[ M(r) = e^{kr^l + O(r^{l^\prime})} \] hat und die Strahlen, welche den Nullpunkt mit denjenigen Stellen \(z\) verbinden, an denen \(|f(z)| = M(r)\) ist, für \(r\to\infty\) gegen eine endliche Anzahl äquidistanter Grenzstrahlen konvergieren.
Ist \(p\) die Ordnung der Differentialgleichung, so ist dabei \(l < \dfrac 1p\), und die Anzahl der äquidistanten Grenzstrahlen ist \(\leq lp\).
Wenn allgemeiner die Koeffizienten einer linearen homogenen Differentialgleichung im unendlichen regulär sind oder höchstens Pole haben, so daß mindestens ein Integral der Form \[ z^\mu \sum_{\lambda = -\infty}^\infty a_\lambda z^\lambda \text{ für genügend große } |z| \tag{1} \] vorhanden ist, so ist für jedes solche Integral die ganze Funktion \[ \sum_{\lambda = 0}^\infty a_\lambda z^\lambda \] von gesterntem Exponentialtypus.
Analoge Sätze gelten auch für nichtlineare Differentialgleichungen erster Ordnung, sofern sie eine ganze Funktion oder eine Funktion der Form (1) zum Integral haben. Dagegen ist die Übertragung auf nichtlineare Differentialgleichungen höherer Ordnung nur unter weitgehenden Einschränkungen möglich. (IV 9.)

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Full Text: DOI Numdam EuDML