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Über die Picardschen Ausnahmewerte sukzessiver Derivierten. (German) JFM 49.0219.03

Es handelt sich um Fragestellungen und Sätze, die im wesentlichen von Pólya herrühren (s. F. d. M. 48, 370 (JFM 48.0370.*), 1922). Es wird die Bemerkung, daß die Funktion \(e^{az+b}\) die einzige ganze Funktion ist, die samt ihren ersten beiden Ableitungen keine Nullstellen besitzt, erheblich vertieft und zu folgenden Sätzen vorgedrungen:
A. Ist \(g(z)\) eine ganze Funktion und besitzen \(g(z)\), \(g^\prime(z)\) und \(g^{\prime\prime}(z)\), abgesehen von endlichvielen Stellen dieselben Nullstellen, so hat \(g(z)\) die Form \(P(z) e^{Q(z)}\), in der \(P\) und \(Q\) Polynome bedeuten.
B. Besitzen \(g(z)\), \(g^\prime(z)\) und \(g^{\prime\prime}(z)\) Picardsche Ausnahmewerte (d. h. Werte, die höchstens endlich-oft angenommen werden), so ist \(g(z)\) von der Form \(P(z)e^{Q(z)} + a\), in der \(P\) und \(Q\) wieder Polynome und \(a\) eine Konstante bedeuten.
C. Eine Identität der Form \[ p(z)e^{F_1(z)} + q(z)e^{F_2(z)} + r(z) F_1^\prime(z) + s(z) \equiv 0 \] zwischen den ganzen Funktionen \(F_1(z)\) und \(F_2(z)\) und den Polynomen \(p\), \(q\), \(r\) und \(s\) ist unmöglich, falls \(p\) nicht identisch verschwindet, \(F_1\) nicht identisch konstant ist, \(r\) und \(s\) nicht gleichzeitig identisch verschwinden und \(\dfrac rs\) für \(r \not\equiv 0\), \(s \not\equiv 0\) keine ganze Funktion ist. – In diesem Satz C ist für \(r \equiv 0\), \(s \equiv 1\) der Picardsche Satz enthalten.

Citations:

JFM 48.0370.*
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References:

[1] Die Sätze wurden teilweise in folgenden Arbeiten angekündigt: G. Pólya: Über die Nullstellen sukzessiver Derivierten, Math. Zeitschrift12 (1922), S. 38, Fußnote 1a. G. Pólya: Bestimmung einer ganzen Funktion endlichen Geschlechts durch viererlei Stellen, Nyt Tidsskrift 1921, S. 21. · JFM 48.0370.02
[2] E. Borel Sur les zéros des fonctions entières. Acta mathematica20 (1896), S. 368.
[3] A. Wiman: Über den Zusammenhang zwischen dem Maximalbetrage einer analytischen Funktion und dem größten Gliede der zugehörigen Taylorschen Reihe, Acta mathematica37 (1914), S. 305-326. · JFM 45.0641.02
[4] A. Wiman: Über den Zusammenhang zwischen dem Maximalbetrage einer analytischen Funktion und dem größten Betrage bei gegebenem Argumente der Funktion, Acta mathematica41 (1916), S. 1-28. · JFM 46.0508.04
[5] G. Valiron: Les théorèmes généraux de M. Borel dans la théorie des fonctions entières, Annales de l’École Normale Supérieure37 (1920), S. 220-253.
[6] G. Valiron: Recherches sur le théorème de M. Picard, Annales de l’École Normale Supérieure39 (1922), S. 317-341. · JFM 48.0356.05
[7] Vgl. G. Pólya, Über den Zusammenhang zwischen dem Maximalbetrage einer analytischen Funktion und dem größten Gliede ihrer Taylorreihe, Acta mathematica41 (1916), S. 311-319. · JFM 46.0508.03
[8] Siehe z. B. Landau: Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie (Berlin 1916), S. 76.
[9] Valiron, loc. cit. 5)37 (1920), S. 225. I.
[10] Man findet die Ungleichung in etwas anderer Formulierung bei Hadamard: Étude sur les fonctions entières et en particulier d’une fonction considérée par Riemann. Journal de Mathématiques 1893, S. 201.
[11] Dieser Satz wurde zum erstenmal von Wiman bewiesen. Vgl. Wiman, loc. cit. 4), § 3 und Valiron, loc. cit. 5) S. 228, 229 und besonders loc. cit. 5) 1. Teil, wo nicht nur für die Punkte eines Kreisbogens, sondern für die Punkte einesGebietes ein entsprechender Satz aufgestellt wird. · JFM 46.0508.04
[12] Vgl. Valiron, loc. cit. 5), S. 334.
[13] Vgl. A. Wiman, loc. cit. 4),, §5. Vgl. Valiron, loc. cit. 5), S. 235, Théorème IV. · JFM 46.0508.04
[14] Vgl. A. Wiman, loc. cit. 4), Beweis des Satzes von Picard, S. 21; Valiron, loc. cit. 5), S. 232, 233. · JFM 46.0508.04
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