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Solution of the Cesàro summability problem for power-series and Fourier series. (English) JFM 49.0232.01

In dieser groß angelegten und scharfsinnigen Arbeit lösen die Verfasser ein Problem, das bisher in dieser Form nicht gestellt worden ist. Es handelt sich um die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, daß eine Potenzreihe in einem Randpunkte des Konvergenzkreises oder eine Fourierreihe in einem Punkte des Integrationsintervalles von irgendeiner Ordnung \(C\)-summierbar ist. Die Frage nach den notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Konvergenz oder für die \(C\)-Summierbarkeit von einer bestimmten Ordnung ist ungelöst und wird auch in dieser Arbeit nicht angegriffen. Es handelt sich vielmehr, ähnlich wie bei den Bohrschen Ergebnissen bezüglich des Konvergenz-und Summierbarkeits-Problems bei Dirichletschen Reihen, lediglich um die Feststellung, ob überhaupt \(C\)-Summierbarkeit von irgendeiner Ordnung vorliegt.
Die Grundlage für die Hauptsätze B und C bildet der folgende allgemeine (rein arithmetische) Satz über die \(C\)-Summierbarkeit einer Reihe:
Satz A. Damit die Reihe \(\sum a_n\) \(C_r\)-summierbar sei, ist es notwendig und hinreichend, daß die \((r+2)\) Zahlenfolgen \[ a_{ns},\quad s = 0,1,2,\ldots,r+1;\quad n = 0,1,2,\ldots \] existieren, derart, daß \(a_{n0}=a_n\), \(a_{n,s-1}=(n+1)(a_{ns}-a_{n+1,s})\), \(s > 0\) ist und daß \(\sum a_{n,r+1}\) \(C_{-1}\)-summierbar ist. Unter diesen Umständen ist \(a_{ns}\) gleich der \(C_{r-s}\)-Summe von \(\sum\limits_{\nu=n}^{\infty}\dfrac{a_{\nu s-1}}{\nu+1}\) für \(s=1, 2, \ldots, r+1\), und die Reihe \(\sum a_{ns}\) \(C_{r-s}\)-summierbar und hat für jedes \(s\) dieselbe Summe.
(Ein im wesentlichen äquivalenter Satz ist schon früher von Knopp, s. F. d. M. 46, 321 (JFM 46.0321.*), 1917, bewiesen worden.) – Mit Hilfe dieses Satzes wird nun bewiesen:
Satz B. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß \(f(x) = \sum a_nx^n\) (Radius \(= 1\)) in \(x=+1\) von irgendeiner Ordnung \(C\)-summierbar sei mit der Summe \(s\), besteht darin, daß 1. zwei positive Konstanten \(A\) und \(B\) existieren, so daß im Einheitskreise \[ |f(x)|< A(1-|x|)^{-B} \] bleibt, und daß es 2. eine natürliche Zahl \(k\) gibt, so daß, wenn \[ f_1(x) = \frac 1{1-x}\int_x^1 f(t)dt,\quad f_2(x)=\frac 1{1-x}\int_x^1 f_1(t)dt,\ldots \] gesetzt wird, \(f_k(x)\to s\) strebt, wenn \(x\) in irgendeiner Weise aus dem Innern des Einheitskreises gegen \(+1\) strebt.
Satz C. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Fourierreihe einer integrablen Funktion \(f(t)\) im Punkte \(t = x\) von irgendeiner Ordnung \(C\)-summierbar sei mit der Summe \(s\), besteht darin, daß es eine natürliche Zahl \(k\) gibt, so daß, wenn \[ \begin{aligned} \varphi(t)&=f(x+t)+f(x-t)-2s,\\ \varphi_1(t)&=\frac1t\int_0^t\varphi(\tau)d\tau,\;\varphi_2(t)=\frac 1t\int_0^t\varphi_1(\tau)d\tau,\dots \end{aligned} \] gesetzt wird, \(\varphi_k(t)\to 0\) strebt für \(t\to 0\).

Citations:

JFM 46.0321.*
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