Sur la représentation conforme de domaines variables. (French) JFM 49.0247.03

Radó, T.

Acta Litt. ac Scient. Univ. Hung. 1, 180-186 (1923).

Es seien \(\varGamma_n\) (\(n = 1, 2, 3,\ldots\)) und \(\varGamma\) Jordankurven in der \(x\)-Ebene, welche den Punkt \(x = 0\) enthalten und \(f_n(z)\) (\(n = 1, 2, 3, \ldots\)) bzw. \(f(z)\) seien die Funktionen, welche den Einheitskreis \(| z| < 1\) auf das Innere der entsprechenden Kurven schlicht abbilden, wobei der Nullpunkt und die Richtung eines Linienelementes in ihm unverändert bleibt. Damit \(\lim\limits_{n\to\infty}f_n(z) = f(z)\) gleichmäßig für \(|z|\leqq 1\) gelte, ist notwendig und hinreichend, daß die Fréchetsche Entfernung der Kurven \(\varGamma_n\) und \(\varGamma\) mit \(\dfrac1n\) gegen 0 konvergiere. Hierbei versteht man unter der Fréchetschen Entfernung \(d\) von zwei Jordankurven \(C\) und \(C'\) folgendes: Bei einer beliebigen eineindeutigen und stetigen Abbildung von \(C\) auf \(C'\) besitzt der Abstand entsprechender Punkte ein Maximum. Die untere Grenze derselben für alle möglichen Abbildungen ist gleich \(d\).

Reviewer: Szegö, Prof. (Königsberg i. P.)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 5. Konforme Abbildung und Uniformisierung.