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Some approximations to hypergeometric functions. (English) JFM 49.0252.01

In gewisse physikalische Probleme spielen die asymptotischen Werte der folgenden speziellen Verallgemeinerungen der Besselschen Funktionen hinein: \[ \begin{aligned} J(b;z) &= 1 + \frac{z}{1!(1 + b_1)\cdots(1+b_3)} + \frac {z^2}{2!(1+b_1)(2 + b_1) \cdots (1+b_3)(2+b_3)} +\cdots;\\ J(a,b;z) &= 1 + \frac{(1+a)z}{1!(1 + b_1)\cdots(1+b_4)} + \frac {(1+a)(2+a)z^2}{2!(1+b_1)(2 + b_1) \cdots (1+b_4)(2+b_4)} +\cdots\,, \end{aligned} \] und es ist ferner dabei die Frage nach den negativen Wurzeln der letzteren Funktion von Interesse.
Verf. findet für \(z \to\infty\): \[ J(a,b;z)=\frac{e^{4z}z^{-\tau}}{2(2\pi)^{\frac32}} \left\{\delta_0+\delta_1z^{-1} +\delta_2z^{-2} +O(z^{-3})\right\}, \] mit näherer Bestimmung der Konstanten, z. B. \[ \tau = b_1+ \cdots + b_4- a + \frac32\,, \] sowie brauchbare Annäherungen für die erwähnten Wurzeln; die Methode läßt sich im Prinzip auf analog gebildete Funktionen mit beliebig vielen \(a_i\) in den Zählern und \(b_k\) in den Nennern der Entwicklung um \(z = 0\) ausdehnen.

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