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Über die Bestimmung der Verzweigungspunkte eines hyperelliptischen Integrals aus seinen Periodizitätsmoduln mit Anwendungen auf die Theorie des Transformators. (German) JFM 49.0269.01
Die Berechnung des magnetischen Feldes in dem als rechtwinkliger Rahmen oder Doppelrahmen profilierten Eisenkern eines Transformators führt auf die Aufgabe, einen rechtwinklig begrenzten Bereich \(G\) konform auf den Einheitskreis abzubilden. Die Abbildung wird durch die Umkehrfunktion eines hyperelliptischen Integrals geleistet, von dem nur die Lage der, sämtlich auf dem Einheitskreise befindlichen, Verzweigungspunkte \(s_k\) unbekannt ist. Die Arbeit behandelt die zahlenmäßige Berechnung der Verzweigungspunkte aus der Gestalt des Bereichs, d. h. aus den Perioden des Integrals.
Die Koeffizienten der Potenzreihe der Abbildungsfunktion werden im Anschluß an L. Bieberbach [Palermo Rend. 38, 98–112 (1914; JFM 45.0670.03)] explizite dargestellt als Grenzwerte von Quotienten von Determinanten, deren Elemente Integrale vom Typus \(\iint z^k\bar z^r\,df\) (erstreckt über \(G\)), also Polynome in den Perioden sind. Die Umkehrfunktion, das hyperelliptische Integral, wird in eine Potenzreihe mit Polynomen in \(1/s_k\) als Koeffizienten entwickelt. Die Beziehung zwischen Reihe und Umkehrreihe gibt Gleichungen, die zur Berechnung der \(s_k\) ausreichen.
Ist der Bereich \(G\) nicht einfach berandet, sondern etwa geschlitzt, so wird er durch einen einfach berandeten angenähert. Ist er nicht schlicht, so wird er durch eine vorläufige Abbildung in einen schlichten verwandelt und die Methode entsprechend abgeändert.
Zur numerischen Berechnung des hyperelliptischen Integrals werden zwei Wege genannt: Annäherung des Integranden durch rationale Funktionen oder durch den Integranden eines auf elliptische Integrale zurückführbaren hyperelliptischen Integrals.

MSC:
33E05 Elliptic functions and integrals
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