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Sur les séries de fonctions orthogonales. I: La convergence. (French) JFM 49.0293.01
Bekanntlich hat M. Plancherel [C. R. 157, 539–542 (1913; JFM 44.0304.01)] den Satz bewiesen: Bilden in \((a,b)\) die Funktionen \(\varphi_n(x)\) ein normiertes Orthogonalsystem und konvergiert \[ \sum_{n=1}^\infty a_n^2\cdot(\lg n)^3, \tag{1} \] so konvergiert auch die Reihe \[ \sum_{n=1}^\infty a_n\cdot\varphi_n(x) \tag{2} \] fast überall in \((a,b)\).
Verf. beweist, daß man in (1) \((\lg n)^3\) durch \((\lg n)^2\) ersetzen kann – ein Resultat, das jedoch schon vorher H. Rademacher [Deutsche Math.-Ver. 30, 99–100 (1921; JFM 48.0485.04); Math. Ann. 87, 112–138 (1922; JFM 48.0485.05)] gefunden hatte.
Darüber hinaus gewinnt der Verf. noch das sehr bemerkenswerte Ergebnis, daß jenes Resultat nicht weiter verschärft werden kann: Welches auch die positive Funktion \(W(n)\) sei, für welche \[ W(n)=o[(\lg n)^2] \tag{3} \] erfüllt ist, stets existiert dazu in \((0,1)\) ein normiertes System von Orthogonalfunktionen \(\varphi_n(x)\) und eine Folge von reellen Konstanten \(a_n\), so daß die Reihe (2) überall in \((0,1)\) divergiert, während gleichzeitig \[ \sum_{n=1}^\infty a_n^2\cdot W(n) \tag{4} \] konvergiert. (Insbesondere kann also (2) überall divergieren, auch wenn \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n^2\) konvergiert.)

MSC:
40A30 Convergence and divergence of series and sequences of functions
33C45 Orthogonal polynomials and functions of hypergeometric type (Jacobi, Laguerre, Hermite, Askey scheme, etc.)
42C05 Orthogonal functions and polynomials, general theory of nontrigonometric harmonic analysis
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Full Text: DOI EuDML