Sur les cycles limites. (French) JFM 49.0304.01

Dulac, H.

S. M. F. Bull. 51, 45-188 (1923).

Es handelt sich um die Differentialgleichung \[ X(x,y)\,dy+Y(x,y)\,dx = 0, \] wo \(X\), \(Y\) Polynome von \(x\), \(y\) sind. Um die von Poincaré und Bendixson gewonnenen Resultate von gewissen Einschränkungen zu befreien, erweitert Verf. den Begriff der geschlossenen Integralkurve in folgender Weise. Als linke bzw. rechte Fortsetzung einer in einen singulären Punkt \(P\) einmündenden Integral-kurve \(C\) wird diejenige von P auslaufende Integralkurve bezeichnet, die man zuerst antrifft, wenn man den singulären Punkt von \(C\) aus nach links oder rechts umläuft (falls es eine solche erste gibt, was z.B. bei Sattelpunkten der Fall ist). So kommt man zu geschlossenen Integralkurven, die sich aus Verbindungslinien von je zwei singulären Punkten zusammensetzen, wobei in den singulären Punkten Ecken auftreten und beim Durchlaufen entweder immer die linke oder immer die rechte Fortsetzung zu nehmen ist. Derartige Integralkurven heißen “singuläre Zykeln”, während geschlossene Integralkurven, die durch keinen singulären Punkt gehen, Zykeln schlechthin genannt werden. “Grenzzykeln” sind solche Zykeln, denen sich die benachbarten Integralkurven spiralartig asymptotisch nähern.
Die Arbeit zerfallt in vier Teile. Im ersten Teil werden Sattelpunkte behandelt, im zweiten Teil “Ausnahmspunkte”, das sind solche, für welche die Differentialgleichung sich durch geeignete Wahl des Koordinatensystems auf die Form \[ X_2(x,y)\,dy+(y+ Y_2(x, y))\,dx = 0 \] bringen läßt, wo \(X_2\), \(Y_2\) keine Glieder von geringerer als zweiter Dimension enthalten, im dritten Teil beliebige singulare Punkte. Diese drei Teile sind völlig gleich gegliedert. Sie untersuchen zuerst das “Korrespondenzgesetz” \(t' = f(t)\), wobei \(t\) und \(t'\) die Parameter der Schnittpunkte einer Integralkurve mit zwei gegebenen analytischen Kurven \(K\) und \(K'\) sind. Wenn man beim Durchlaufen der zu \(t = 0\) gehörigen Integralkurve von ihrem Schnittpunkt mit \(K\) bis zu ihrem Schnittpunkt mit \(K'\) durch keinen singulären Punkt kommt, ist \(f(t)\) für \(t = 0\) analytisch. Wenn man aber durch einen Sattelpunkt, Ausnahmspunkt oder beliebigen singulären Punkt kommt, ist \(f(t)\) entsprechend komplizierter. Auch der Fall, daß man mehrere singuläre Punkte trifft, wird erörtert. Der Weg, auf dem Verf. in jedem Fall das Gesetz findet, besteht in der Hauptsache darin, daß er ähnlich, wie Bendixson, die Differentialgleichung durch eine Reihe von Transformationen auf eine möglichst einfache Form bringt. Sodann behandeln die drei Teile die zu einem singulären Zykel (der im ersten, zweiten, dritten Teil durch einen Sattelpunkt, Ausnahmspunkt, beliebigen singulären Punkt geht) benachbarten Integralkurven. Dabei gelingt es jedesmal, gestützt auf das Korrespondenzgesetz und ohne Benutzung irgend welcher topologischer Betrachtungen, zu zeigen, daß von den auf der gleichen Seite des singulären Zykels gelegenen Integralkurven entweder alle geschlossen sind oder gar keine. Daraus kann dann im vierten Teil leicht die Folgerung gezogen werden, daß die Anzahl der Grenzzykeln endlich ist.
Editorial remark (2021): Yu. S. Il’yashenko [Russ. Math. Surv. 40, No. 6, 1–49 (1986; Zbl 0668.34032); translation from Usp. Mat. Nauk 40, No. 6(246), 41–78 (1985)] identified a major gap in the proof, and gave a counterexample to a main lemma. Later, Yu. S. Il’yashenko [Finiteness theorems for limit cycles. Transl. from the Russian by H. H. McFaden. Providence, RI: American Mathematical Society (1991; Zbl 0743.34036)] and J. Écalle [Introduction aux fonctions analysables et preuve constructive de la conjecture de Dulac. Paris: Hermann, Éditeurs des Sciences et des Arts. (1992; Zbl 1241.34003)] gave detailed full proofs of Dulac’s theorem in full generality.

Reviewer: Perron, O., Prof. (München)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 9. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Differentialausdrücke und Differentialinvarianten. Allgemeine Integrationsmethoden. Gruppentheoretische und funktionentheoretische Behandlung.

Citations:

Zbl 0668.34032; Zbl 0743.34036; Zbl 1241.34003