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Oszillationstheoreme oberhalb der Stieltjesschen Grenze. (German) JFM 49.0317.02
Sucht man in der hypergeometrischen Differentialgleichung \[ \eta''+ \left(\frac {1-\alpha}x + \frac {1-\beta}{x-1}\right)\eta'+\frac {\lambda}{x(x-1)}\eta =0 \tag{H} \] bei nicht ganzzahligen positiven \(\alpha\), \(\beta\) den Parameter \(\lambda\) so zu bestimmen, daß (H) eine sowohl in \(x = 0\) als in \(x = 1\) reguläre Lösung (“Eigenfunktion”) besitzt (“Randbedingung”), so ergeben sich bekanntlich unendlich viele, nur gegen \(-\infty\) sich häufende derartige Parameterwerte (“Eigenwerte”) \(\lambda_0, \lambda_1, \ldots, \lambda_k,\ldots \) Sind \(y_0,y_1,\ldots, y_k,\ldots\) die zugehörigen Eigenfunktionen, so gilt für \(0 < \alpha < 1\), \(0 < \beta<1\) (d.h. “unterhalb der Stieltjesschen Grenze”) folgendes “normale” Oszillationstheorem: Sind die \(\lambda_k\) der Größe nach geordnet, so besitzt \(y_k\) in \(0< x< 1\) genau \(k\) (reelle) Nullstellen. Durch stetige Abänderung der \(\alpha\), \(\beta\) wird gezeigt, daß oberhalb der Stieltjesschen Grenze dieses Oszillationstheorem insofern gestört wird, als eine (von \(\alpha\) und \(\beta\) abhängige) explizit angebbare Anzahl von Eigenwertepaaren ihrer Charakterisierung durch die Nullstellenzahl der zugehörigen Eigenfunktionen verlustig geht.
Die so gewonnenen Oszillationstheoreme werden übertragen auf Differentialgleichungen von der Form \[ y'' + \left(\frac{1-\alpha}x+\frac{1-\beta}{x-1}+\mathfrak{P}(x)\right)y'+ \frac 1{x(x-1)}(\lambda \mathfrak{K}(x) + \mathfrak{Q}(x))y =0 \tag{F} \] und auf allgemeinere “Randbedingungen”.
Die Beweise werden mittels einer Kontinuitätsmethode geführt, indem man z. B. nachweist, daß das Oszillationstheorem sich nicht ändert, wenn man bei fester Randbedingung (H) stetig in (F) überführt.
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References:
[1] Vgl. Bôcher: Randwertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen, Enzykl. math. Wiss. IIA7a, S. 456.
[2] Vgl. Bôcher. l. c. 4), Nr. 6. Bôcher: Randwertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen, Enzykl. math. Wiss. IIA7a, S. 456.
[3] Vgl. l. c. 6) sowie die historischen Notizen im Texte weiter unten.
[4] Klein: Zum Oszillationstheorem jenseits der Stieltjesschén Grenze, Ges. Werke2, S. 597-600.
[5] Vgl. l. c. 4), Bôcher: Randwertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen, Enzykl. math. Wiss. IIA7a, Nr. 5, S. 452.
[6] F bezeichnet die hypergeometrische Reihe. Vgl. z. B. Riemann-Weber: Partielle Differentialgleichungen der Physik2 (Braunschweig 1912) S. 13. Die ?, ? m Texte oben haben eine andere Bedeutung als die bei Riemann-Weber l. c.
[7] Vgl. Hilb: Kleinsohe Theoreme, Math. Ann.66 (1908), S. 229.
[8] Sogenanntes Theorem von Rouché. Siehe z. B. Bieberbach: Lehrbuch der Funktionentheorie1 (Leipzig 1922), S. 185.
[9] Man vgl. Klein l. c. 8). Klein: Zum Oszillationstheorem jenseits der Stieltjesschen Grenze, Ges Werke2, S. 597-600.
[10] Nach dem in 13) zitierten Satze.
[11] Vgl. z. B. Kneser: Bestimmung des Geschlechtes usw., Jahresbericht, d. d. Math. Ver.24 (1915), S. 36 ff., für das Folgende auch Hilb: Über die Laplacesche Reihe, Math. Zeitschrift5 (1919), S. 20.
[12] Vgl. z. B. Nielsen, Handbuch der Zylinderfunktionen (Leipzig 1904), S. 130.
[13] Nielsen, l. c. 20), Handbuch der Zylinderfunktionen (Leipzig 1904), S. 23. · JFM 35.0476.03
[14] Das SymbolO() hat die Seite 142 angegebene Bedeutung.
[15] Nielsen, l. c. 20), Handbuch der Zylinderfunktionen (Leipzig 1904), S. 154. · JFM 35.0476.03
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