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Remarques diverses sur le calcul aux différences finies. (French) JFM 49.0324.02
Die erste Arbeit bringt die Übertragung der Untersuchungen Nörlunds über die Differenzengleichungen \(\operatornamewithlimits{\Delta}\limits_{\omega} F(x) = \dfrac{F(x+\omega)-F(x)}{\omega}=\varphi(x)\) und \(\operatornamewithlimits{\nabla}\limits_{\omega} F(x) = \dfrac{F(x+\omega)+F(x)}{2}=\varphi(x)\) auf die etwas allgemeineren Differenzengleichungen (1) \(\operatornamewithlimits{\Delta}\limits_{\omega_1\cdots\omega_n}^n F(x) =\varphi(x)\) und (2) \(\operatornamewithlimits{\nabla}\limits_{\omega_1\cdots\omega_n}^n G(x)=\varphi(x)\). Dabei ist \[ \operatornamewithlimits{\Delta}\limits_{\omega_1\cdots\omega_n}^n F(x)=\operatornamewithlimits{\Delta}\limits_{\omega_n} (\,\operatornamewithlimits{\Delta}\limits_{\omega_1 \cdots\omega_{n-1}}^{n-1} F(x)), \quad \operatornamewithlimits{\nabla}\limits_{\omega_1\cdots\omega_n}^n F(x)=\operatornamewithlimits{\nabla}\limits_{\omega_n} (\,\operatornamewithlimits{\nabla}\limits_{\omega_1\cdots\omega_{n-1}}^{n-1}F(x)). \] Von dem gegebenen \(\varphi(x)\) wird vorausgesetzt, daß es für \(x \geqq a\) eine stetige Ableitung irgend einer, etwa \(m\)-ter Ordnung besitze und daß \(\lim\limits_{x\to \infty} x^{n+\varepsilon} \varphi^{(m)}(x) =0\), wo \(\varepsilon\) eine beliebig kleine positive Zahl ist. Nörlund greift aus den unendlich vielen Lösungen wieder eine von ihm Hauptlösung genannte, durch einen Algorithmus definierte Lösung heraus. Sei nämlich \(\Omega= s_1\omega_1 + s_2\omega_2 + \cdots + s_n\omega_n\), so ist die Hauptlösung von (2) \[ G_n(x,\omega_1, \omega_2, \ldots \omega_n) = \lim_{\eta=0} 2^n \sum (-1)^{s_1+s_2+\cdots + s_n} \varphi(x+\Omega)e^{-\eta(x+\Omega)}, \] wo die Summe über alle ganzen nicht negativen Werte von \(s_1, s_2, \ldots, s_n\) zu erstrecken ist. Entsprechend wird die Hauptlösung von (1) definiert. Um den Existenzbeweis zu erbringen, wird die Verallgemeinerung der Booleschen und Euler-Maclaurinschen Summenformeln entwickelt, woraus der Existenzbeweis folgt. Dann werden die asymptotischen Werte der Hauptlösungen bestimmt, für die Hauptlösungen konvergente Reihenentwicklungen gegeben und schließlich einige Eigenschaften der Hauptlösungen entwickelt. Kurz, wie schon anfangs erwähnt, die Arbeit bringt die Verallgemeinerung der früheren Untersuchungen für \(n=1\) auf beliebiges \(n\). Die zweite Arbeit untersucht zunächst den Fall, daß von den oben als voneinander verschieden angenommenen Größen \(\omega\) einige zusammenfallen. Zu diesem Zwecke werden zunächst die entsprechenden Eigenschaften der Eulerschen und Bernoullischen Polynome abgeleitet. Die Eulerschen Polynome \(E_\nu^n(x)\) sind dabei z. B. als die Koeffizienten in der Entwicklung \[ \frac{2^ne^{xt}}{(e^{\omega_1t}+1)(e^{\omega_2t}+1)\cdots (e^{\omega_nt}+1)} = \sum_{\nu=0}^\infty \frac {t^\nu}{\nu!} E_\nu^{(n)} (x,\omega_1, \ldots, \omega_n) \] definiert. Der zweite Teil der Arbeit bringt als Gegenstück zur partiellen Integration der Integralrechnung die partielle Summation bei Summen, die gestattet, die Berechnung der Summe \[ S(\psi(x) \operatornamewithlimits{\nabla}_\omega^n \varphi(x)) \operatornamewithlimits{\nabla}_\omega x \] auf die von \(S(\varphi(x+ n\omega)\operatornamewithlimits{\Delta}\limits_\omega^n \psi(x))\operatornamewithlimits{\nabla}\limits_\omega(x)\) zurückzuführen, wo \(S\varphi(x)\operatornamewithlimits{\nabla}\limits_{\omega} x\) die Nörlundsche Hauptlösung der Differenzengleichung \(\operatornamewithlimits{\nabla}\limits_{\omega}G(x)=\varphi(x)\) bedeutet. Nörlund gibt dann einige besonders schöne Anwendungen auf spezielle Fälle. Der dritte Teil bringt schließlich Anwendungen und Erweiterungen der Eulerschen Transformationsformel \[ \sum_{s=0}^\infty (-1)^s\varrho^s\varphi(x+s\omega)= \sum_{s=0}^\infty (-1)^s \frac{\varrho^s\omega^s}{(1+\varrho)^{s+1}}\operatornamewithlimits{\Delta}_ \omega^s \varphi(x) \;\;\text{bei} \;\;0< \varrho< 1, \] wenn \(\lim\limits_{x\to \infty}\varphi(x) e^{-\varepsilon x} = 0\) für jedes positive \(\varepsilon\). Es folgt insbesondere die Existenz von \(S\varphi(x)\operatornamewithlimits{\nabla}\limits_\omega(x)\), wenn bei genügend großem \(p\) die Reihe \(\sum\limits_{s=0}^\infty (-1)^s\operatornamewithlimits{\Delta}\limits_{\omega}^p\varphi(x + s\omega)\) konvergiert. Entsprechendes gilt für die Hauptlösung von (2) bei beliebigem \(n\).

Subjects:
Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 11. Differenzengleichungen und verwandte Funktionalgleichungen. Analytische Theorie der Kettenbrüche.
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Full Text: EuDML