Eine neue Behandlung der ersten Randwertaufgabe für \(\Delta u = 0\). (German) JFM 49.0340.01

Perron, O.

Math. Z. 18, 42-54 (1923).

Aus der Gesamtheit der stetigen Funktionen zweier unabhängigen Variablen werden die folgenden zwei Klassen herausgegriffen: die “Oberfunktionen” und die “Unterfunktionen”, d. h. solche Funktionen, deren Wert in einem beliebigen Punkte oberhalb bzw. unterhalb des Poissonschen Integrals für einen beliebigen Kreis \(K\) um diesen Punkt liegt (neben gewissen Ungleichungen für den Rand des zu betrachtenden Gebietes). Diese Funktionen haben je eine der Eigenschaften der Potentialfunktion: Das Minimum bzw. das Maximum der Funktion liegt auf dem Rande, mit Hilfe dieser Eigenschaft gelingt es, die Lösung der Randwertaufgabe als untere Grenze aller Oberfunktionen darzustellen, wobei die einzige Schwierigkeit der Nachweis ist, daß die Grenzfunktion wirklich die Randbedingungen erfüllt.

Reviewer: Courant, Prof. (Göttingen)

MSC:

35Jxx

Elliptic equations and elliptic systems

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 13. Potentialtheorie und Theorie der partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus. Randwertaufgaben und Entwicklungssätze.