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Nouveaux fondements du calcul des probabilités. (Definition de la probabilité fondée sur la théorie des ensembles). (French) JFM 49.0360.02
Verf. will die Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Hilfe mengentheoretischer Begriffe aufbauen. Folgendes ist der sehr einfache Grundgedanke: \(M\) sei die Gesamtmenge der “möglichen Fälle”, dargestellt durch eine Menge von Punkten \(P\) eines \(n\)-dimensionalen Raumes \(R_n\); \(m\) sei die Teilmenge der “günstigen Fälle”, deren Wahrscheinlichkeit in bezug auf \(M\) bestimmt werden soll; \(\varphi(P)\) sei die Funktion der “Gewichte” der Fälle \(P\). Man trage in einem \((n+1)\)-dimensionalen Raum in jedem Punkt \(P\) von \(M\) bzw. \(m\) senkrecht zu \(R_n\) eine Strecke von der Länge \(\varphi(P)\) auf; die so entstehenden Punktmengen seien mit \(M'\) bzw. \(m'\) bezeichnet. Die betr. Wahrscheinlichkeit wird dann definiert als der Quotient der \((n+1)\)-dimensionalen Lebesgueschen Maße von \(m'\) und \(M'\); sind beide Maße \(= 0\), so benutze man das “\(k\)-dimensionale Maß im \((n+1)\)-dimensionalen Raum” von C. Carathéodory [Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-Phys. Kl. 1914, 404, 426 (1914; JFM 45.0443.01)] (\(n+1\geq k\geq 1\)), wobei \(k\) die größte (sicher existierende) Zahl ist, für welche beide Maße nicht gleichzeitig verschwinden. Falls die Maßzahlen unendlich groß sind, hat man den Grenzwert der betr. endlichen Quotienten zu betrachten [wobei allerdings die Abhängigkeit dieses Grenzwertes von der Art des Grenzübergangs (noch mehr, als der Verf. es tut) zu beachten ist]. -Diese Auffassung wird auch schon im Fall einer nur aus endlich vielen Elementen bestehenden Menge \(M\) zugrunde gelegt. -
Es wird dann hauptsächlich festgestellt, wann der Multiplikationssatz bei zusammengesetzten Wahrscheinlichkeiten gilt: als notwendige und hinreichende Bedingung gibt Verf. an (S. 62), daß das Gewicht jedes Elementenpaares bis auf einen konstanten Faktor gleich dem Produkt der Gewichte der einzelnen Elemente sei. Doch ist dies nicht korrekt und es ist hinzuzufügen, daß man eine Nullmenge von Ausnahmewertepaaren zulassen muß; (weil man von der Gleichheit Lebesguescher Integrale nur “fast überall” auf die Gleichheit der Integranden schließen kann).
Recht hübsch ist eine neue, sehr elementare Herleitung des Gaußschen Fehlergesetzes (§ 5): Von der Gewichtsverteilung \(\varphi(x)\) wird vorausgesetzt, daß sie stetig und positiv sei, daß der Multiplikationssatz für die Paare anwendbar sei und die Menge der Paare Rotationssymmetrie besitze, und daß \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\varphi(x)=0\) sei. Dann wird (ohne Differentiation) alles auf die bekannte Funktionalgleichung \(f(\xi)+f(\eta) = f(\xi+\eta)\) zurückgeführt.

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