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Der Aufbau der ebenen Geometrie ohne das Symmetrieaxiom. (German) JFM 49.0393.01

Hilbert hat bekanntlich im Anhang II der “Grundlagen der Geometrie”: “Über den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck” [F. d. M. 34, 523 (JFM 34.0523.*)-524,1903] einen Aufbau der ebenen Geometrie ohne Benutzung des ”Symmetrieaxioms” gegeben, d.h. wenn das Kongruenzaxiom III 6 (also der 1. Kongruenzsatz) nur auf kongruente und nicht auf symmetrisch liegende Dreiecke angewendet wird; er hat ferner durch Konstruktion von zwei “Nicht-Pythagoräischen” Geometrien gezeigt, daß der Basiswinkelsatz und andere wichtige Sätze sich nicht beweisen lassen, wenn außer dem “Symmetrieaxiom” auch noch die Stetigkeitsaxiome weggelassen werden. Verf. gibt nun in dieser Göttinger Dissertation zu jenen beiden Hilbertschen Geometrien nähere Ausführungen (§ 1-4), die umso erwünschter sind, als bei Hilbert alles (besonders die 2. Geometrie) nur kurz behandelt ist. Dabei hat die Definition der 2. Hilbertschen Geometrie durch passende Erweiterung des zugrunde gelegten Zahlbereichs \(\varOmega\) eine zweckmäßige Abänderung erfahren. Es wird dann (§ 5) die Gültigkeit einiger weiterer Sätze in beiden Geometrien untersucht und , daran anknüpfend, (§ 6) der Aufbau der ebenen Geometrie skizziert, soweit er auf Grund der Axiomgruppen I, II, III bei Fortlassen des Symmetrieaxioms möglich ist. Dabei konnten 6 Fragen, die genau formuliert werden, nicht geklärt werden.

Citations:

JFM 34.0523.*
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