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Beiträge zur allgemeinen Topologie. I. Axiome für verschiedene Fassungen des Umgebungsbegriffs. III. Über die Komponenten offener Mengen. (German) JFM 49.0397.02
I.: Math. Ann. 88, 290-312 (1923); III.: Monatsh. f. Math. 33, 15-17 (1923).
Der Begriff der stetigen Abbildung und damit der der topologischen (= umkehrbar eindeutigen und stetigen) Abbildung läßt sich nicht nur im Bereich der Punktmengen eines \(n\)-dimensionalen Zahlenraumes entwickeln, sondern auch im Bereich allgemeiner (mit Limes-, Umgebungs- oder Abstandsbeziehungen ausgestatteter) Mengen. Hieraus erwächst eine “allgemeine Topologie” als Lehre von den topologischen Beziehungen in solchen “allgemeinen Räumen”.
In “Beiträge” I werden, in enger Beziehung zu den bezüglichen Kapiteln von Hausdorffs Grundzügen der Mengenlehre, verschiedene Fassungen des Umgebungsbegriffs behandelt und eine Reihe von “Trennbarkeitsaxiomen” aufgestellt, von denen jedes eine stärkere Einschränkung des Raumbegriffs bewirkt als das vorhergehende. Der Nachweis hierfür wird durch Beispielkonstruktionen erbracht. Dabei spielen gewisse Verteilungssätze eine Rolle, wie der folgende, mit Überlegungen von \(W\). Sierpinski enge zusammenhängende Satz: Es ist nicht möglich, die Punkte der \(xy\)-Ebene \(\mathfrak E\) so in zwei Mengen \(\mathfrak P\), \(\mathfrak Q\) aufzuteilen, daß auf jeder Geraden \(x=\operatorname{const.}\) höchstens abzählbar viele Punkte zu \(\mathfrak Q\), und auf jeder Geraden \(y=\operatorname{const.}\) höchstens endlich viele Punkte zu \(\mathfrak P\) gehören. Im Anschluß hieran wird ein Beweis von H. Hahn für einen allgemeineren Verteilungssatz mitgeteilt, bei dem an Stelle von \(\mathfrak E\) irgendeine Menge von Paaren \((x,y)\) tritt, wo \(x\) und \(y\) je eine Menge irgendeiner Mächtigkeit \(m\) bzw. \(n\) durchlaufen.
In “Beiträge” II soll die Einführung uneigentlicher Elemente in der Geometrie behandelt werden.
In III wird unter Heranziehung des in I eingeführten Begriffs “Zusammenhängend in einem Punkte” ein neuer Beweis für den folgenden Satz von Hahn (Fund. math. 2, 189) gegeben: Damit in einem Raum \(\operatorname{Re}\) jede Komponente einer offenen Menge offen ist, ist notwendig und hinreichend, daß \(\operatorname{Re}\) zusammenhängend im kleinen ist.

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