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Über Kurvennetze mit isolierten Singularitäten auf geschlossenen Flächen. (German) JFM 49.0402.02

Auf einer geschlossenen orientierbaren Fläche \(\mathfrak F\) vom Geschlecht \(p\) sei in folgender Weise ein “Kurvennetz” definiert. Durch jeden Punkt der Fläche, mit Ausnahme endlich vieler “singulärer” Punkte \(S_h\) gehen zwei Kurven des das Netz bildenden Kurvensystems, und man kann zu jedem solchen “regulären” Punkt eine von vier Kurvenstücken des Netzes begrenzte Umgebung konstruieren, die von den Netzkurven so (zweifach) überdeckt wird, wie in einer \(xy\)-Ebene ein achsenparalleles Rechteck von den achsenparallelen Geraden. Jedem einfach-zusammenhängenden Bereich \(\mathfrak B\) auf \(\mathfrak F\), dessen Rand ganz aus regulären Punkten besteht, läßt sich dann ein Index \(r({\mathfrak B})\) zuordnen als die (von der Wahl von \(\mathfrak p\) unabhängige) Differenz \(a-e\), wo \(a\) bzw. \(e\) die Anzahl der ausspringenden bzw. einspringenden Ecken eines aus endlich vielen Netz-Kurvenstücken gebildeten Polygons \(\mathfrak p\) ist, das einen alle singulären Punkte von \(\mathfrak B\) im Innern enthaltenden einfach-zusammenhängenden Bereich berandet. (Die Definition des Index ist übertragbar auf Bereiche \(\mathfrak B\) mit unendlich vielen singulären Punkten im Innern.) Enthält \(\mathfrak B\) nur einen singulären Punkt \(S_h\), so heißt \(r({\mathfrak B})=r(S_h)=r_h\), der Index von \(S_h\). Als Hauptergebnis wird durch Zerlegung von \(\mathfrak F\) in Netzpolygone mittels des Eulerahen Polyedersatzes die Formel \(\sum\limits_h(4-r_h)=8-8p\) hergeleitet. Die Beziehungen zu Untersuchungen von Poincaré, Bendixson, Dyck, Hellmuth Kneser, Kerékjártó und zu früheren des Verf.s werden besprochen, und als Folgerung der genannten Formel wird ein Satz über die Anzahl der Nabelpunkte auf geschlossenen konvexen Flächen hergeleitet, deren Studium für den Verf. den Ausgangspunkt der Untersuchungen bildete.

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Full Text: DOI EuDML