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On the deformation of an \(n\)-cell. (English) JFM 49.0407.01
Die Frage, ob eine orientierte Elementarmannigfaltigkeit (Zelle) nur eine einzige Deformationsklasse definiert, ist zuerst von H. Tietze aufgeworfen (Monatsh. f. Math. 11, 91, 1908) und die diesbezügliche Vermutung für 2-dimensionale Zellen auch bewiesen (“Über stetige Abbildung einer Quadratfläche auf sich selbst”, Palermo Rend. 38, 247-304, 1913) worden. Später bemühten sich verschiedene Mathematiker, diesen Beweis zu vereinfachen (Literatur bei H. Tietze, “Über Analysis situs”, Abh. a. d. Math. Sem. d. Hamburgischen Univ. 2, 37-70, insbesondere 47-51, sowie in der vorliegenden Abh.).
Verf. leistet hier einen ganz kurzen, durchsichtigen und für alle Dimensionen gültigen Beweis für den Fall, daß die Berandung bei der Deformation punktweise invariant bleibt. Der allgemeine Deformationssatz der \(n\)-dimensionalen Zelle ist damit auf den entsprechenden Satz der \((n - 1)\)-Sphäre zurückgeführt. Für \(n = 2\) ist dadurch ein sehr einfacher Beweis des Deformationssatzes gewonnen. Um ihn auf alle Dimensionen auszudehnen, müßte man jetzt nur noch von der \(n\)-dimens. Zelle auf die \(n\)-Sphäre schließen können. Hier bestehen aber noch größere Schwierigkeiten. (NB. Neuerdings hat H. Kneser (Math. Zeitschr. 25, 362-372, 1926) den Deformationssatz der Kugel und damit auch der 3-dimens. Zelle bewiesen.)