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Lezioni di geometria differenziale. 3. ed. interramente rifatta. 2 Bde. gr. \(8^{\circ}\). (Italian) JFM 49.0498.06
Pisa, Enrico Spoerri (Bologna, Zanichelli) I, 1922 IV + 806. II, 1923 XI + 832 (in 2 Teilbänden) (1923).
Obgleich dieses Werk in der vorliegenden Auflage eine durchgreifende Neubearbeitung erfahren hat und sein Umfang dabei verdoppelt wurde, ist der Grundcharakter völlig unverändert geblieben. Es ist eine rein metrische Differentialgeometrie, aufgebaut auf der Gaußschen Theorie der quadratischen Differentialformen, die deshalb auch – mit ihren Ergänzungen durch Beltrami, Christoffel, Ricci, Riemann, Weingarten u. a. – bereits am Anfang (Kap. II) ausführlich dargestellt wird. Diese Auffassung der Differentialgeometrie führt folgerichtig fortgesetzt zur Geometrie der Riemannschen Räume, und es ist kein Zufall, daß Verf. schon bei der Übersetzung der 1. Auflage in die deutsche Sprache dem Buche 2 Kapitel über \(n\)-dinrensionale Geometrie – allerdings mit Beschränkung auf Räume konstanter Krümmung – hinzugefügt hat. In der 2. (deutschen) Auflage mußten allerdings diese Abschnitte anderem Stoffe weichen. Entsprechend der Ungeheuern Bedeutung, welche die allgemeine Differentialgeometrie in den letzten 12 Jahren für Mathematik und Physik gewonnen hat, ist in der Neuauflage der ganze (selbständige) 2. Teil des II. Bandes dem Raume von \(n\) Dimensionen gewidmet; in diesem Zusammenhange finden jetzt die Räume mit konstanter Krümmung noch besonders eingehende Würdigung. Dementsprechend ist auch die Theorie der 3-fach orthogonalen Flächensysteme der allgemeinen Theorie der \(n\)-fach orthogonalen Hyperflächensysteme des \(n\)-dimensionalen euklidischen Raumes angepaßt worden. Die formalen Hilfsmittel für die Differentialgeometrie in \(n\) Dimensionen werden schon anfangs in dem obenerwähnten Kapitel über quadratische Differentialformen bereitgestellt. Vollkommen umgearbeitet sind außerdem die Abschnitte über pseudosphärische Flächen und die Bäcklundtransformationen, sowie über normale Kreissysteme. Neu hinzugekommen sind Kapitel über Flächen mit einem System ebener oder sphärischer Krümmungslinien und über Kugelkongruenzen. Auch in den hier nicht besonders genannten Kapiteln sind zahlreiche Änderungen gegenüber der 2. Auflage (vgl. F. d. M. 41, 676 (JFM 41.0676.*)-678 (1910)) vorgenommen worden; meistens wurde der behandelte Stoff erheblich vermehrt. Die Verbindung mit andern Gedankenkreisen der Differentialgeometrie ist durch besondere Anhänge hergestellt. Für die affine Vektorübertragung: Nota sul parallelismo di Levi-Civita [Abdruck aus Napoli Rend. 28 (1922)]; für die projektive Differentialgeometrie, ein Beitrag von Guido Fubini: Introduzione alla geometria projettiva differenziale d’una superficie, sowie für die Darbouxsche Bezeichnungsweise: Nota sul metodo del triedro mobile. Von vektoriellen Bezeichnungen wird nirgends Gebrauch gemacht.

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