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Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie. II. Affine Differentialgeometrie, bearbeitet von K. Reidemeister. Erste und zweite Auflage. (German) JFM 49.0499.01
Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellung mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band VII. Berlin: J. Springer, ix, 259 S. gr. \(8^{\circ}\) (1923).
Der erste Band des Werkes, der übrigens mittlerweile in einer zweiten Auflage erschienen ist, ist im JFM 48.1305.03 angezeigt worden. In dem mit ungewöhnlichem Humor geschriebenen Vorwort machen die Verfasser u. a. die folgenden Angaben “zur Abschrift für Besprecher”.
“Während im ersten Bändchen dieses Lehrbuchs – von kleinen Seitensprüngen abgesehen – ausgetretene und wohlmarkierte Wege begangen wurden, wird hier der Versuch gewagt, einen neuen Pfad zu beschreiten. Es werden solche Eigenschaften der Figuren untersucht, die gegenüber Affinitäten, das heißt Kollineationen mit Erhaltung des Parallelismus, invariant sind. Dabei handelt es sich in der Hauptsache um differentialgeometrische Eigenschaftten und um Aufgaben über Extreme, also Beispiele zur Variationsrechnung. Wir hoffen zeigen zu können: Der klassischen Differentialgeometrie weitgehend ähnlich läßt sich eine affine Differentialgeometrie aufbauen, die sich, was Buntheit ihrer Hilfsmittel und Ergebnisse angeht, neben der klassischen sehen lassen kann und ein weites Feld lohnender Untersuchungen darbietet.” Dieses Entgegenkommen der Verfasser enthebt uns der Notwendigkeit, uns in die Einzelheiten des Werkes zu vertiefen. Wir begnügen uns mit der Mitteilung der Kapitel- und Paragraphenüberschriften. Das Werk hat alle Vorzüge der Werke von Blaschke: Frische und Lebendigkeit der Darstellung. Daß es sich um Ergebnisse handelt, die zum großen Teil in den letzten 15 Jahren entstanden sind und Blaschke zum Verfasser oder Anreger haben, ist bereits in den vorhin wiedergegebenen einleitenden Worten der Verfasser zum Ausdruck gebracht worden.
Aus dem Inhaltsverzeichnis:
1. Kapitel. Ebene Kurven im Kleinen. § 1. Affine Abbildung. § 2. Rechenregeln. § 3. Affinabstand. § 4. Affinlänge eines Kurvenbogens. § 5. Affinkrümmung. § 6. Geometrische Deutung der Affinnormalen. § 7. Natürliche Gleichung. § 8. Die Kegelschnitte als \(W\)-Kurven. § 9. Bestimmung der eingliedrigen Gruppen flächentreuer Affinitäten. § 10. \(W\)-Kurven. § 11. Schmiegkegelschnitte. § 12. Die Affinevolute. § 13. Tangentenbild und Krümmungsbild. § 14. Zusammenhang mit Bewegungsinvarianten. § 15. Aufgaben.
2. Kapitel. Ebene Kurven im Großen. § 16. Erste Variation der Affinlänge. § 17. Ein Satz von Liebmann über Paare von Kegelschnitten. § 18. Eilinien. § 19. Die Mindestzahl der sextaktischen Punkte einer Eilinie. § 20. Folgerungen. § 21. Ein Satz von Minkowski und Böhmer über elliptisch gekrümmte Eilinien. § 22. Eine Kleinsteigenschaft der Ellipse. § 23. Eine Extremeigenschaft des Dreiecks. § 24. Dreipunktproblem von Sylvester. § 25. Größteigenschaft des Dreiecks. § 26. Eine isoperimetrische Eigenschaft der Ellipse. § 27. Aufgaben und Lehrsätze.
3. Kapitel. Raumkurven. § 28. Vektoren im Raum. § 29. Der ausgezeichnete Kurven-Parameter. § 30. Das begleitende Dreibein vierter Ordnung. § 31. Die Kurven mit festen Affinkrümmungen. § 32. Kennzeichnende Eigenschaften der Kurven mit festen Affinkrümmungen. § 33. Gewindekurven. § 34. Weitere besondere Kurven. § 35. Kurven mit geraden Schwerlinien. § 36. Das Variationsproblem der Affinlänge. § 37. Kurven mit gemeinsamer Sehnenmittenfläche. § 38. Aufgaben.
4. Kapitel. Flächentheorie, niederer Teil. § 39. Die quadratische Grundform. § 40. Die Affinnormale. § 41. Kanonische Flächendarstellung. § 42. Schmieg-\(F_2\). § 43. Geometrische Deutungen der Affinnormalen. § 44. Bestimmung der Flächen mit zentrischen ebenen Schnitten. § 45. Flächen mit ebenen Schattengrenzen. § 46. Die kubische Grundform von Fubini und Pick. § 47. Die Affinoberfläche. § 48. Aufgaben und Lehrsätze.
5. Kapitel. Allgemeine Flächentheorie. § 49. Die Ableitungsgleichungen für Asymptotenparameter. § 50. Ein Hilfssatz für ein vollständig integrierbares System von linearen totalen Differentialgleichungen. § 51. Bestimmung einer Fläche durch die Grundformen. § 52. Die Formeln von Lelieuvre. § 53. Tensoren. § 54. Die Differentialgleichung der geodätischen Linien. § 55. Der Parallelismus von Levi-Civita. § 56. Christoffels invariante Ableitungen eines Tensors. § 57. Riemanns Krümmungstensor. § 58. Die Grundformen der affinen Flächentheorie. § 59. Die Ableitungsgleichungen. § 60. Die Integrierbarkeitsbedingungen. § 61. Die affinen Hauptkrümmungen. § 62. Das Krümmungsbild. § 63. Formeltafeln. § 64. Zusammenhang mit Bewegungsinvarianten. § 65. Affine Differentialgeometrie der Hyperflächen im \(R_{n+1}\). § 66. Die Identität von Padova und Bianchi. § 67. Aufgaben.
6. Kapitel. Extreme bei Flächen. § 68. Affinminimalflächen. § 69. Einige kennzeichnende Eigenschaften der Affinminimal-flächen. § 70. Gegenstück zum Problem von Björling. § 71. Flächen, die zugleich gewöhnliche und Affinminimalflächen sind. § 72. Eine Kleinst eigenschaft des Ellipsoids. § 73. Isoperimetrie der Ellipsoide. § 74. Eiflächen mit festem \(H\). § 75. Bemerkungen und Aufgaben.
7. Kapitel. Besondere Flächen. § 76. Eigentliche Affinsphären. § 77. Eiflächen mit geraden Schwerlinien. § 78. Uneigentliche Affinsphären. § 79. Eine Kennzeichnung der Affinsphären. § 80. Windschiefe Flächen. § 81. Lies \(F_2\). § 82. Über die Einhüllenden der Lie-\(F_2\). § 83. Die Lie-\(F_2\) bei windschiefen Flächen. § 84. Die \(F_2\) Lies und der Satz Maschkes. § 85. Schiebflächen. § 86. Bestimmung der windschiefen Schiebflächen. § 87. Die affinsphärischen Schiebflächen. § 88. Neue Kennzeichnung der eigentlichen Affinsphären. § 89. W-Flächen. § 90. Ein affines Gegenstück zur Unverbiegbarkeit der Kugel. § 91. Aufgaben und Bemerkungen.
Namen- und Stichwortverzeichnis.

MSC:
53-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to differential geometry
53A15 Affine differential geometry
53B50 Applications of local differential geometry to the sciences
53C80 Applications of global differential geometry to the sciences
Subjects:
Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. C. Allgemeine Theorie der Raumkurven, Flächen und Strahlensysteme. Besondere Raumkurven und Flächen, Strahlen- und Flächensysteme.