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Invariants projectifs des congruences \(W\). (French) JFM 49.0523.01

In der Methode schließt sich die Untersuchung den Arbeiten von Cartan an (Bull. des Sciences math. 47 (1919), 125; 48 (1920), 132); die Terminologie geht im wesentlichen auf Waelsch (Zur Infinitesimalgeometrie der Strahlenkongruenzen und Flächen, Wiener Ber. 100 (1891), 158) zurück; bezüglich der abkürzenden symbolischen Schreibweise verweist der Verf. auf die eigene Dissertation (Les variétés de l’espace réglé, Paris, 1923). Der projektive Punktraum wird auf ein variables Tetraeder (repère) \(a_1a_2a_3a_4\) bezogen, der Linienraum auf die 6 durch die Kanten bestimmten Strahlengebüsche. Die infinitesimalen Verrückungen der Tetraederecken werden durch die symbolischen Gleichungen \[ da_i = \omega_{i1}a_1 + \omega_{i2}a_2 +\omega_{i3}a_3 + \omega_{i4}a_4 \] dargestellt; ähnliche Differentialformeln, in denen Verbindungen der Koeffizienten \(\omega_{ij}\) auftreten, gelten für die Kanten. Bei der Betrachtung einer Strahlenkongruenz wird das Tetraeder so gewählt, daß \(a_1\) und \(a_2\) die Brennpunkte, die Ebenen \([a_1a_2a_3]\) und \([a_1a_2a_4]\) die Brennebenen und die Geraden \([a_1a_3]\) und \([a_2a_4]\) die zur Strahlrichtung \([a_1a_2]\) konjugierten Tangenten der Brennflächen (Hauptfokalgeraden) werden; \([a_1a_4]\) und \([a_2a_3]\) sind Zentralstrahlen. Mit dem laufenden Strahl einer Kongruenz verbinden sich je zwei berührende lineare Komplexe. Das Zusammenfallen dieser beiden Begleitkomplexe kennzeichnet die \(W\)-Kongruenzen, denen überdies die meist zur Definition benutzte Eigenschaft zukommt, daß sich auf den Brennflächen die Asymptotenlinien entsprechen. Die Untersuchung der \(\omega_{ij}\), die lineare Differentialformen in den beiden Bezugsparametern \(p_1\), \(p_2\) sind, im Zusammenhang mit der Tatsache, daß der Wahl des Tetraeders noch eine gewisse Willkür anhaftet (die Reduktion auf ausgezeichnete Typen wird als normalisation du repère bezeichnet), führt zur Aufstellung der projektiven Invarianten einer \(W\)-Kongruenz. Dabei wird bemerkt, daß die allgemeinste \(W\)-Kongruenz von einer einzigen willkürlichen Funktion zweier Variablen abhängt. Weitere Eigenschaften der Invarianten ergeben sich schließlich aus der Betrachtung der Schar der oskulierenden linearen Komplexe. Im besonderen Falle, daß der oskulierende Komplex nur von einem Parameter abhängt, werden die Brennflächen der \(W\)-Kongruenz zwei Regelflächen, deren Gerade einander zugeordnet sind.
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Full Text: DOI Numdam EuDML