Congruences rectilignes qui sont en même temps \(W\) et de Ribaucour (Thèse, Paris). (French) JFM 49.0525.02

Vaulot, A.

Paris: Gauthier-Villars, 95 S. (1923).

Sind \(\xi_1\), \(\xi_2\), \(\xi_3\) und \(\lambda\) Lösungen einer Moutardschen Gleichung \[ \frac{\partial^2\theta}{\partial u\partial v}=M\theta, \tag{1} \] dann sind \(\xi_1\), \(\xi_2\), \(\xi_3\) Richtungsparameter der Geraden einer Ribaucourschen Kongruenz, deren Mittelfläche gegeben ist durch: \[ \frac{\partial\eta}{\partial u} =-\frac{\partial\lambda}{\partial u}\xi +\lambda\frac{\partial\xi}{\partial u}\,, \quad \frac{\partial\eta}{\partial v} =\frac{\partial\lambda}{\partial v}\xi -\lambda\frac{\partial\xi}{\partial v}\,. \] Verf. zeigt, daß bei passender Wahl der Parameter \(u\), \(v\), durch die ihre Developpablen definiert werden, die betrachtete Kongruenz dann und nur dann zugleich eine \(W\)-Kongruenz ist, wenn (unter Ausschreibung nur einer indexlosen Zeile der zugehörigen Determinante) \[ \left|\xi\,\frac{\partial^2\xi}{\partial u^2}\, \frac{\partial^2\xi}{\partial v^2}\right|=0 \tag{2} \] ausfällt; man hat dann noch: \[ \lambda=\left|\xi\,\frac{\partial\xi}{\partial u}\, \frac{\partial\xi}{\partial v}\right|. \]
Es existieren besondere, gewissen linearen Komplexen angehörende Kongruenzen von der Art, daß bei Festhaltung von \(\xi_2\), \(\xi_3\) die Beziehung (2) alsdann identisch durch jede sonstige Lösung \(\xi\) von (1) erfüllt wird. Eine \(W\)-Ribaucoursche Kongruenz läßt eine parallele Kongruenz vom gleichen Typus zu, falls \(\lambda\) homogen vom ersten Grade in \(U = f(u)\), \(V = g (v)\) ausfällt; existieren dann zwei nicht homothetische parallele Kongruenzen, so existieren auch unendlich viele.
Durch Einführung der Lelieuvreschen Formeln für die erzeugenden Flächen der Kongruenz reduziert sich das Problem der Bestimmung aller Kongruenzen des betrachteten Typus auf die Lösung zweier (komplizierteren) partiellen Differentialgleichungen mit zwei unbekannten Funktionen. Diese Gleichungen werden in einer Reihe von besonderen Fällen angewandt; der interessanteste derselben betrifft die Ebene als Mittelfläche.
Zuletzt wird gezeigt, daß die Bestimmung aller normalen \(W\)-Ribaucourschen Kongruenzen, abgesehen von Quadraturen, nur von der Lösung einer Riccatischen Gleichung abhängt.

Reviewer: Graustein, Prof. (Cambridge (USA)) (Müntz, Dr. (Berlin))

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. C. Allgemeine Theorie der Raumkurven, Flächen und Strahlensysteme. Besondere Raumkurven und Flächen, Strahlen- und Flächensysteme.