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Über die Einordnung der Affingeometrie in die Theorie der höheren Übertragungen. I. II. (German) JFM 49.0541.03

Die erste dieser Arbeiten behandelt die Geometrie der Hyperflächen in einer \(n\)-dimensionalen affin-zusammenhängenden Mannigfaltigkeit \(A_n\) und die Einordnung der inhaltstreu-affinen Differentialgeometrie der Hyperflächen im \(n\)-dimensionalen euklidischen Raum (speziell also auch der “affinen Flächentheorie”) in die Theorie der linearen Übertragungen.
Nach Einspannung der Hyperfläche in die \(A_n\) durch einen aus ihr hinausweisenden “Pseudonormalvektor” beliebiger Richtung werden zunächst die Grundgleichungen von Gauß und Codazzi aufgestellt, hierauf der Pseudonormalvektor der – für alles Folgende grundlegenden – Bedingung unterworfen, daß seine invariante Änderung bei einer beliebigen Verrückung in der Hyperfläche in dieser liegen soll. Nun werden insbesondere die inhaltstreuen \(A_n\) betrachtet, d. h. jene, in welchen jeder kontravariante \(n\)-Vektor bei Übertragung längs einer beliebigen geschlossenen Kurve ungeändert bleibt. Sie sind durch \(R^\lambda_{\lambda\cdot \mu\nu} = 0\) gekennzeichnet, worin \((R^\lambda_{\chi\cdot\mu\nu})\) der Krümmungstensor der \(A_n\) ist. In einer solchen inhaltstreuen \(A_n\) läßt sich der Pseudonormalvektor gemäß der oben erwähnten Bedingung festlegen. Man erhält dann Formeln, welche die genaue Verallgemeinerung der Grundgleichungen der affinen Flächentheorie bilden und in diese übergehen, wenn die \(A_n\) ein dreidimensionaler euklidischer Raum ist. Schließlich verallgemeinert der Verf. auch die affine Krümmungstheorie.
In der zweiten Arbeit werden die Grundgleichungen für die \(m\)-dimensionalen Flächen in einer beliebigen und in einer inhaltstreuen \(A_n\) entwickelt.
Der Inhalt beider Abhandlungen ist vom Verf. in seinen “Riccikalkül” (Berlin 1924. IV. §§ 4-11, 14-18) aufgenommen worden. (VII.)

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References:

[1] Vektorielle Begründung der Differentialgeometrie, Math. Ann.78 (1916), S. 187-217. · JFM 46.1029.04
[2] Reine Infinitesimalgeometrie, Math. Zeitschr.1 (1918), S. 384-411. · JFM 46.1301.01
[3] Beiträge zu einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, Jahresber. d. Deutsch. Math.-Ver.28 (1920), S. 213-228.
[4] Über die verschiedenen Arten der Übertragung in einern-dimensionalen Mannigfaltigkeit, die einer Differentialgeometrie zugrunde gelegt werden können, Math. Zeitschr.13 (1922), S. 56-81, Nachtrag15 (1922), S. 168, im folgenden zitiert als Ü. · JFM 48.0858.01
[5] Es bedeute im folgendenX n einen-dimensionale Mannigfaltigkeit,V n eineX n mit quadratischer Maßestimmung, undR n eineX n mit euklidischer Maßbestimmung.
[6] Nozione di parallelismo in una varieta qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvatura Riemanniana, Rend. Circ. Mat. Palermo42 (1917), S. 173-205. · JFM 46.1125.02
[7] Eine Übersicht der bisherigen Arbeiten findet sich Jahresber. d. Deutsch. Math. Ver.31 (1922), S. 64.
[8] Die Grundgleichungen der Hyperflächen im euklidischenR n+1 gegenüber den inhaltstreuen Affinitäten, Monatsh. f. Math. und Phys.32 (1922), S. 89-106. · JFM 48.0847.01
[9] Zur Geometrie einern-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit im (n+1)-dimensionalen Euklidisch-affinen Raum, Jahresber. d. Deutsch. Math. Ver.31 (1922), S. 162-170. · JFM 48.0846.04
[10] Ein Beitrag zur Grundlegung der affinen Geometrie, Leipz. Ber.71 (1919), S. 3-19. ?Beiträge zu einer allgemeinen linearen Mannigfaltigkeitslehre, Jahresber. d. Deutsch. Math.-Ver.28 (1919), S. 213-228.
[11] Für den Beweis siehe: Über die Bianchische Identität für symmetrische Übertragungen, Math. Zeitschr.17 (1923), S. 111-115. · JFM 49.0542.01
[12] Liese Eigenschaften derA n?1 inE n mit dem Beweis verdanke ich einer brieflichen Mitteilung von Herrn L. Berwald.
[13] Diese Gleichung folgt auch aus Ü. S. 72 Gleichung (75a).
[14] Über die konforme Abbildungn-dimensionaler Mannigfaltigkeiten auf eineR n, Math. Zeitschr.11 (1921), S. 58-88, S. 78 Gleichung (127). · JFM 48.0857.02
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