×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée. I. (French) JFM 49.0542.02
Die umfangreiche Abhandlung, von der hier die ersten vier Kapitel des ersten Teiles vorliegen, gehört zu den Arbeiten des Verf, in denen die Lehre von der Parallelübertragung, wie sie sich im Anschluß an die grundlegende Arbeit von Levi-Civita (Palermo Rend. 42 (1917), 173; F. d. M. 46, 1125) entwickelt hat, in Verbindung mit der Lieschen Theorie der Transformationsgruppen und dem Gedankenkreis des Erlanger Programmes gebracht wird. In ihrem Mittelpunkt stehen die Begriffsbildungen der affin- (metrisch-, euklidisch-) zusammenhängenden Mannigfaltigkeit, die zunächst erörtert werden sollen.
In einem \(n\)-dimensionalen affinen Raum, d. h. in einer Mannigfaltigkeit, in der jeder Punkt durch \(n\) Parameter bestimmt ist und die Geometrie der affinen Gruppe gilt, kann man jedem Punkte ein kartesisches Bezugssystem zuordnen, gebildet von \(n\) linear unabhängigen Vektoren, die von diesem Punkte ausgehen. Der Übergang vom Bezugssystem eines Punktes \(P\) zu dem eines beliebigen unendlich benachbarten Punktes \(P'\) wird dadurch vollzogen, daß der Vektor, der von \(P\) nach \(P'\) führt, und die Vektoren, die man zu den Bezugsvektoren von \(P\) addieren muß, um die Bezugsvektoren von \(P'\) zu erhalten, als lineare Kombinationen der Bezugsvektoren von \(P\) gegeben werden, deren Koeffizienten Pfaffsche Formen der Parameter sind. Die Formeln, die diesen Übergang definieren, mögen die affinen Eichungsformeln heißen. Im affinen Raum genügen sie gewissen Integrabilitätsbedingungen, die ausdrücken, daß man nach Durchlaufung eines beliebigen geschlossenen Weges bei der Rückkehr in den Ausgangspunkt wieder zu dem ursprünglichen Bezugssystem zurückkommt. Unter einer \(n\)-dimensionalen affin-zusammenhängenden Mannigfaltigkeit versteht nun der Verf eine \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeit, für welche in der unmittelbaren Umgebung jedes Punktes die affine Geometrie gilt, so daß jedem Punkte ein \(n\)-dimensionaler affiner Raum, dem diese Umgebung angehört, und ein kartesisches Bezugssystem zugeordnet werden kann; und für welche überdies die affinen Eichungsformeln gegeben sind, die den Übergang vom Bezugssystem eines beliebigen Punktes \(P\) der Mannigfaltigkeit zu demjenigen irgend eines unendlich benachbarten Punktes \(P'\) vermitteln. Diese Eichungsformeln sind im allgemeinen nicht mehr integrabel. Vielmehr ist jedem infinitesimalen geschlossenen Wege, der von einem Punkt \(P\) ausgeht und dorthin zurückkehrt, eine Affinität zugeordnet, die sich aus einer Translation und einer affinen Rotation zusammensetzt. In der affinen Rotation drückt sich die Krümmung, in der Translation die Torsion der Mannigfaltigkeit aus. Krümmung und Torsion genügen einem Erhaltungssatz, der aussagt, daß die Summe der unendlich kleinen Affinitäten, die den verschiedenen Elementen einer unendlich kleinen geschlossenen Fläche zugeordnet sind, Null ist.
Vom Standpunkt der Vektorübertragungslehre ist die Cartansche affin-zusammenhängende Mannigfaltigkeit eine \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeit, in der die Parallelverschiebung eines beliebigen Vektors \((\xi^\lambda)\) durch Formeln der Gestalt \(d\xi^\lambda = - \varGamma^\lambda_{\mu\nu}\xi^\mu\, dx^\nu\) gegeben wird (wobei die \(\varGamma^\lambda_{\mu\nu}\) in den unteren Zeigern nicht symmetrisch zu sein brauchen) und die “Überschiebungen” \(\eta_\lambda\xi^\lambda\) bei Parallelübertragung invariant sind. Die Krümmung ist dann in der üblichen Weise definiert, die Torsion durch den Tensor \(\frac12(\varGamma^\lambda_{\mu\nu} - \varGamma^\lambda_{\nu\mu})\), der Erhaltungssatz entspricht im wesentlichen der Bianchischen Identität. Der Weylsche affin-zusammenhängende Raum ist eine affin-zusammenhängende Mannigfaltigkeit ohne Torsion.
Ebenso, wie der Begriff der affin-zusammenhängenden Mannigfaltigkeit zu dem des affinen Raumes, verhält sich der Begriff der metrisch- (euklidisch-) zusammenhängenden Mannigfaltigkeit zu dem des äquiformen (euklidischen) Raumes. In einer metrisch-zusammenhängenden Mannigfaltigkeit ist jedem infinitesimalen geschlossenen Wege zugeordnet eine Translation, eine Homothetie und eine Rotation, in denen sich bezüglich die Torsion, die Ähnlichkeits- und die Rotationskrümmung der Mannigfaltigkeit ausspricht; für eine euklidisch-zusammenhängende Mannigfaltigkeit ist die Ähnlichkeitskrümmung beständig Null. Insbesondere ist ein Weylscher metrischer Raum eine metrisch-, ein Riemannscher Raum eine euklidisch-zusammenhängende Mannigfaltigkeit ohne Torsion. Die Krümmungen und die Torsion einer metrisch- (euklidisch-) zusammenhängenden Mannigfaltigkeit genügen wieder einem Erhaltungssatz.
Die auseinandergesetzten Begriffe und Sätze lassen sich noch wesentlich verallgemeinern, indem an Stelle der bisher betrachteten Gruppen eine beliebige endliche kontinuierliche Transformationsgruppe gesetzt wird, die durch ihre infinitesimalen Transformationen gegeben ist.
Die vorstehenden Entwicklungen bilden den Hauptinhalt der mittleren Kapitel der Abhandlung, in denen außerdem noch der Isomophismus zweier affin-zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten und die einfachsten Integralinvarianten besprochen werden, die mit einer affin- (euklidisch-) zusammenhängenden Mannigfaltigkeit verknüpft sind.
Der Inhalt der übrigen beiden Kapitel kann hier nur angedeutet werden. Im vierten Kapitel wird zunächst die Theorie der Kurven und Flächen in einer affin-zusammenhängenden Mannigfaltigkeit mittels der Methode des beweglichen Bezugssystemes, zumeist mit Beschränkung auf den dreidimensionalen Fall, entwickelt. Sodann erfahren die geodätischen Linien in einer euklidisch-zusammenhängenden Mannigfaltigkeit eine eingehende Behandlung, wobei vor allem die Frage beantwortet wird, wann eine geodätische Linie die kürzeste Verbindung zwischen irgend zwei ihrer Punkte darstellt. Den Schluß bilden einige Bemerkungen über die Kurven von der Länge Null in einer metrisch-zusammenhängenden Mannigfaltigkeit.
Das erste Kapitel enthällt eine einheitliche Auseinandersetzung der klassischen und relativistischen Dynamik des einzelnen Massenpunktes und der kontinuierlichen Medien, wobei von vornherein der Begriff der Welt als einer vierdimensionalen Mannigfaltigkeit zugrunde gelegt wird. Das Ziel dieser Entwicklungen ist, zu zeigen, daß in beiden Fällen die mechanischen Phänomene den affinen Zusammenhang des Raumzeit-Kontinuums keineswegs bestimmen, sondern noch die Wahl zwischen unendlich vielen Möglichkeiten freilassen. (VII.)

Subjects:
Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. E. Gebilde in Räumen von mehr als drei Dimensionen.
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Numdam EuDML