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Sur l’intégration des équations du déplacement parallèle de M. Levi-Civita. (French) JFM 49.0546.03

Die Arbeit beschäftigt sich mit der Integration der von Levi-Civita angegebenen Gleichungen für die Parallelverschiebung eines Vektors \(A^k\) (\(k=1\), \(\ldots\), \(n\)) in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit \(x^1\), \(\ldots\), \(x^n\): \[ dA^k + \sum_{lj} \{j,l;k\} \,dx^jA^l=0 \] längs einer Kurve \(x_i(t)\).
Im allgemeinen hängen die Größen \(A^k\), zu denen man am Endpunkt der Kurve gelangt, vom Wege ab. Es handelt sich also um Integration eines nicht exakten Differentials. Der Verf. bedient sich für die Integration des Funktionalkalküls von Volterra und bestimmt die Funktionale \(A^k\) durch eine Reihe von Kurvenintegralen. Es wird eine Beziehung hergestellt zwischen den Funktionalableitungen von \(A^k\) und dem Riemannschen Krümmungstensor. (VII.)
Reviewer: Th.

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References:

[1] MM. G. Ricci etT. Levi-Civita,Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications [Mathematische Annalen, Bd. LIV (1901), pp. 125–201].
[2] T. Levi-Civita,Nozione di parallelismo in una varietà qualunque e conseguente specifications geometrica della curvatura riemanniana [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XLII (1917), pp. 173–205]. · JFM 46.1125.02
[3] V. Volterra,Fonctions de lignes [Paris, Gauthier-Villars, 1913 (CollectionBorel)] ;P. Lévy,Leçons d’Analyse fonctionnelle [Paris, Gauthier-Villars, 1922 (CollectionBorel).
[4] J. Pérès,Le parallélisme de Levi-Civita et la courbure riemannienne [Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, serie V, vol. XXVIII, 1semestre 1919, pp. 425–428].
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