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Sur le mouvement d’une particule matérielle dans un champ de gravitation à symétrie sphérique. (French) JFM 49.0635.03
Belg. Mem. \(8^\circ\) (2), 7, fasc. 5, 98 S. (1923).
Verf. gibt eine eingehende Studie der Bewegung eines materiellen Punktes im Schwarzschildschen Feld \[ ds^2 = \frac{r}{r-\alpha}dr^2 - r^2d\vartheta^2 - r^2\sin\vartheta d\varphi^2 + c^2\frac{r}{r-\alpha}dt^2 \] (\(\alpha = \) Gravitationsradius). Er bespricht alle möglichen Bahnen und die Geschwindigkeiten, mit denen sie durchlaufen werden. Für den wichtigsten Fall (\(\Delta > 0\)) stellt er auch die Beziehung zwischen der Anomalie und der Zeit auf. Für die periodischen Bahnen ergibt sich daraus ein endlicher, nicht zu komplizierter Ausdruck für die Umlaufszeit und damit das Analogon zum dritten Keplerschen Gesetz.
Die bekannte Differentialgleichung für die Bahn \[ \left(\frac{d\dfrac{1}{r}}{d\varphi}\right)^2 = \frac{\alpha}{r^3} \frac{1}{r^2} + \frac{\alpha}{\gamma}\frac{1}{r} \frac{1}{\gamma^2}\left(1-\frac{\delta^2}{c^2}\right) \] mit den Konstanten \[ \gamma = r^2\frac{d\varphi}{ds}, \quad \delta = c^2\frac{r-\alpha}{r}\frac{dt}{ds} \] läßt sich mit Hilfe der Weierstraßschen \(\mathfrak{p}\)-Funktion integrieren, da man durch Einführen der Variablen \(u\) \[ \frac{\alpha}{4r} = u + \frac{1}{12} \] die Gleichung \[ \left(\frac{du}{d\varphi}\right)^2 = 4u^3 - g_2u - g_3; \;g_2 = \frac{1}{12} - \frac{\alpha^2}{4\gamma^2}, \;g_3 = \frac{1}{216}\left(1+\frac{9\alpha^2}{\gamma^2} \frac{27\alpha^2\delta^2}{2c^2\gamma^2}\right) \] erhält. Es ist also \[ \frac{\alpha}{4r} - \frac{1}{12} = \mathfrak{p}(\varphi + c). \] Die Integrationskonstante \(c\) ist dadurch bestimmt, daß der Radiusvektor \(r_0\) zur Anomalie \(\varphi_0\) gehört. Doch sind \(r_0, \gamma\) und \(\delta\) nicht völlig voneinander unabhängig, da auch \(\mathfrak{p}'(\varphi_0 + \zeta)\) reell sein muß, also \(4u_0^3 - g_2u_0 - g_3 \geqq 0\).
Es erweist sich ferner als praktisch, an Stelle von \(\gamma\) und \(\delta\) die Konstanten \(\sigma = \left(\dfrac{\alpha}{\gamma}\right)^2\) und \(\tau = \left(\dfrac{\alpha\delta}{c\gamma}\right)^2\) einzuführen.
Das Vorzeichen der Determinante von \(\mathfrak{p}(\varphi + c)\), \(\Delta = g_2^3 - 27g_3^2\) ist von ausschlaggebender Bedeutung für die Gestalt der Bahn. Ist \(\sigma > \dfrac{1}{3}\), so ist \(\Delta < 0\); für \(\sigma=\dfrac{1}{3}\) ist \(\Delta = 0\); ist dagegen \(\sigma < \dfrac{1}{3}\), so ist das Vorzeichen von \(\Delta\) vollständig unbestimmt. Für die Bahn der Lichtstrahlen ist \(\sigma = 0\).
Der wichtigste, weil die Bewegung der Planeten einschließende, Fall ist der einer positiven Determinante. Das Polynom \(Z = 4z^3 g_2z - g_3\) hat dann bekanntlich drei reelle und voneinander verschiedene Wurzeln \[ -\frac{1}{\sigma}\sqrt{1-3\sigma}<e_2<-\frac{1}{12}\sqrt{1-3\sigma} < e_3 < \frac{1}{12}\sqrt{1-3\sigma} < e_1 < \frac{1}{\sigma}\sqrt{1-3\sigma}, \] und \(\mathfrak{p}\) je eine reelle \((2w_1)\) und eine imaginäre \((2w_2)\) primitive Periode. \(w_1\) und \(\dfrac{w_2}{i}\) werden positiv gewählt und ein \(w_3\) durch \(w_1 + w_2 + w_3 = 0\) definiert.
Aus der Annahme der positiven Determinante folgt dann sofort, daß der Radiusvektor mindestens einen Extremwert besitzt. Nehmen wir zuerst den Fall, daß dieser Extremwert ein Minimum darstellt, und zählen wir \(\varphi\) von der Richtung zu diesem Perizentrum an, so wird die Bahngleichung \(\dfrac{\alpha}{4r}=\dfrac{1}{12}+\mathfrak{p}(\varphi - w_2)\) und die Perizentrumsdistanz \[ \frac{\alpha}{4r_p} = \frac{1}{12} + \frac{1}{e_3}; \] daher ist \[ \frac{3\alpha}{1+\sqrt{1-3\sigma}} < r_p < \frac{3\alpha}{1-\sqrt{1-3\sigma}}. \] Aus der Bahngleichung folgt als Wert für das Apozentrum \[ \frac{\alpha}{4r_\alpha} = \frac{1}{12} + e_2. \] Damit also ein solches existiert, muß \(e_2 > - \dfrac{1}{12}\) sein, d. h. \(\sigma>\tau\) oder \(\delta^2<c^2\). Ist dies nicht der Fall, also \(\sigma\leqq\tau\) so ist die Bahnkurve eine offene, die. falls \(\sigma <\tau\), die Asymptoten \[ r \sin (\varphi_1 - \varphi) = \frac{\alpha}{\sqrt{\tau - \sigma}} \] besitzt. Die Analogie zu den Newtonschen Bahnen liegt auf der Hand: Setzt man an Stelle der klassischen Energiekonstanten \(h\) die Konstante \[ h_1 = c^2\left(1 -\frac{c^2}{\delta^2}\right) = c^2\left(1-\frac{\sigma}{\tau}\right), \] so ergeben sich für \(h < 0\) ganz im Endlichen gelegene Bahnen, für \(h > 0\) unendliche Bahnen mit Asymptoten und für \(h = 0\) unendliche Bahnen ohne Asymptoten.
Hierauf leitet der Verf. die exakte Zeitgleichung für die besprochenen Fälle und für die periodischen Bahnen die Periode ab. Weiter ergibt sich die Geschwindigkeit in der Bahn zu \[ \upsilon^2 = c^2\frac{r-\alpha}{r} \left(1-\frac{\sigma}{\tau}\frac{r-\alpha}{r}\right). \] Aus dieser Beziehung ergibt sich, daß die Bedingung für die Perizentrumsdistanz \(r_p>\dfrac{3\alpha}{2}\) die Bedeutung hat, daß die Bahngeschwindigkeit immer unter der Lichtgeschwindigkeit bleibt. Als Grenzfälle der periodischen Bahnen ergeben sich Kreisbahnen mit der Diskriminante \(0\). Sie besitzen den Radius \(r=\dfrac{3\alpha}{1-\sqrt{1-3\sigma}}\), der also immer größer als \(3\alpha\) ist. Aus der Differentialgleichung ergeben sich aber noch weitere Kreisbahnen mit kleineren Radien bis zum Radius \(\dfrac{3\alpha}{2}\), die mit immer größeren Geschwindigkeiten bis zur Lichtgeschwindigkeit durchlaufen werden. Diese sind aber, wie gezeigt wird, instabil.
Kehren wir mit dem Verf. zum Fall der positiven Diskriminante zurück, so bleibt noch der Fall, daß es ein Apozentrum \(r_\alpha\), aber kein Perizentrum gibt. Es ist dann \(\dfrac{\alpha}{4r_\alpha}=\dfrac{1}{12}+e_1\), daher \(\dfrac{3\alpha}{1+2\sqrt{1-3\sigma}} < r_\alpha < \dfrac{3\alpha}{1+\sqrt{1-3\sigma}} < 3\alpha\). Der Körper stürzt in den Zentralkörper. Seine Bahngleichung ist \[ \frac{\alpha}{4r} = \frac{1}{12} + \mathfrak{p}(\varphi + w_1). \] Im Falle einer negativen Diskriminante hat das Polynom \(Z\) eine reelle Wurzel \(e_3\) und zwei konjugiert komplexe, nicht verschwindende Wurzeln \(e_1, e_2\). \(\mathfrak{p}\) hat zwei konjugierte, nicht verschwindende primitive Perioden \(2w_1, 2w_2\). Die reelle Periode \(2w_3 = -2(w_1+w_2)\) sei negativ, die Periode \(2w_3^\prime = 2(w_2 - w_1)\) ist dann rein imaginär. Die Bahnkurve besitzt unter Umständen ein Apozentrum, jedoch kein Perizentrum. Zählen wir \(\varphi\) von der Richtung zum Apozentrum an, so ist die Bahngleichung \(\dfrac{\alpha}{4r}=\dfrac{1}{12}+p(\varphi - w_3)\). Es ist daher \(\dfrac{\alpha}{4r_\alpha}=\dfrac{1}{12} + e_3\). Die Bedingung für die Existenz eines Apozentrums ist also \(e_3 > -\frac{1}{12}\), d. h. \(\sigma > \tau\). Ist \(\sigma < \tau\), so kommen die Bahnen aus dem Unendlichen, wo sie die Asymptoten \(r \sin (\varphi - \varphi_1) = \dfrac{\alpha}{\sqrt{\tau -\sigma}}\) besitzen. Ist \(\sigma = \tau\), so kommen die Bahnen ebenfalls aus dem Unendlichen, besitzen jedoch keine Asymptoten. Alle diese Bahnen enden auf dem Zentralkörper. Eine entsprechende Untersuchung ergibt wiederum, daß die Bahngeschwindigkeit unter der Lichtgeschwindigkeit bleibt.
Vervollständigen wir noch den Fall \(\Delta = 0\). Es sind drei Fälle zu unterscheiden. 1. \(g_2>0\), \(g_3>0\). Die Gleichung der Bahn lautet \(\dfrac{\alpha}{4r}=\dfrac{1}{12} - \dfrac{g^2}{3} + \dfrac{g^2}{\cos^2g\varphi}\), wo \(g_2=\dfrac{4}{3}g^4\). Sie besitzt ein Apozentrum \(r_\alpha = \dfrac{3\alpha}{1+2\sqrt{1 - 3\sigma}}\) und endigt auf dem Zentralkörper.
2. \(g_2>0, g_3<0\). Die Bahn besitzt die Gleichung \[ \frac{\alpha}{4r} = \frac{1}{12} - \frac{2}{3}g^2 + g^2\left(\frac{e^{2g\varphi}+1}{e^{2g\varphi}-1}\right)^2. \] Die Bahn endet also einerseits auf dem Zentralkörper, andererseits nähert sie sich in Spiralen dem Kreis mit dem Radius \(r_s = \dfrac{3\alpha}{1+\sqrt{1 - 3\sigma}}<3\alpha\). Hierher gehören aber auch die Bahnen mit der Gleichung \[ \frac{\alpha}{4r} = \frac{1}{12} - \frac{2}{3}g^2 + g^2\left(\frac{e^{2g\varphi}-1}{e^{2g\varphi}+1}\right)^2. \] Diese besitzen für \(\sigma >\dfrac{1}{4}\) ein Apozentrum, \(r_\alpha = \dfrac{3\alpha}{1-2\sqrt{1 - 3\sigma}}>3\alpha\), für \(\sigma\leqq\frac{1}{4}\) erstrecken sie sich ins Unendliche. Auf jeden Fall nähern sie sich aber in Spiralen asymptotisch dem Kreis mit dem Radius \(r_s\). Ist \(\sigma < \frac{1}{4}\), so besitzen sie im Unendlichen die Asymptoten \(r \sin (\varphi - \varphi_1) = \dfrac{\alpha}{\sqrt{\tau_2-\sigma}}\), wo \[ \tau_2 = \frac{2}{27}[1+9\sigma + (1- 3\sigma)^{3/2}]. \]
3. \(g_2=g_3=0\). Die Bahngleichung lautet nunmehr \(\dfrac{\alpha}{4r} = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{(\varphi + G)^2}\). Die Bahn beginnt auf dem Zentralkörper und läuft asymptotisch an den Kreis mit dem Radius \(3\alpha\).
Der Verf. wendet dann seine Resultate auf die Planetentheorie an und entwickelt insbesondere Näherungen für die Perihelvorrückung und das 3. Keplersche Gesetz. Da ferner die Kreise mit dem Radius \(3\alpha\) eine wichtige Rolle in der Bahntheorie bilden, untersucht er die Bedingung dafür, daß der Radius einer homogenen Kugel kleiner ist als dieser Wert. Die Bedingungen dafür finden sich weder bei den Sternen, noch auch, wenigstens nach den bisherigen Ansichten, im Innern der Atome. (VIII 3.)
Reviewer: Zerner, Dr. (Wien)