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Über die Approximation analytischer Funktionen durch lineare Aggregate von vorgegebenen Potenzen. (German) JFM 49.0708.03
Verschiedene Autoren haben die Approximation willkürlicher Funktionen durch lineare Aggregate vorgeschriebener Potenzen im Gebiete des Reellen betrachtet. Insbesondere stammt von Müntz der folgende Satz: Damit die Folge von Potenzen \(x^{\lambda_0}=1,x^{\lambda_1},x^{\lambda_2},\ldots\); \(0=\lambda_0<\lambda_1< \lambda_2<\cdots\) eine Basis aller stetigen Funktionen in einem endlichen Intervall \(0\leqq a\leqq x\leqq b\) abgebe, ist notwendig und hinreichend, daß \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty\lambda_\nu^{-1}\) divergiert.
Hier wird nun mit rein funktionentheroretischen Methoden die folgende weitgehende Verallgemeinerung dieses Satzes gegeben: “Es sei \(\lambda_1,\lambda_2, \ldots,\lambda_n,\ldots\) eine unendliche Folge wachsender positiver Zahlen, ferner \[ \varlimsup\log_{\lambda_\nu<R}\lambda_\nu^{-1}: \log R=\alpha>0; \tag{1} \] schließlich möge \(D\) ein endliches Gebiet sein, welches in dem durch \[ -\alpha\pi<\arg z<\alpha\pi \] definierten Teilgebiet der Riemannschen Fläche von \(\log z\) enthalten und daselbst einfach zusammenhängend und schlicht ist. Dann läßt sich jede analytische Funktion \(F(z)\), die im Innern von \(D\) regulär ist, als Grenzwert einer Folge von Funktionen von der Form \(\sum_{\nu=1}^N c_\nu z^{\lambda_\nu}\) mit konstanten \(c_\nu\) darstellen, und zwar gleichmäßig in jedem inneren Teilgebiet von \(D\).” Ob (1) auch notwendig ist, bleibt dahingestellt.
Der Satz im Reellen kann dem obigen analog abgeleitet werden; der Ausschluß von \(x=0\) wäre dann nachträglich mit Hilfe von \(x^{\lambda_0}=1\) aufzuheben.
In loserem Zusammenhang mit der betrachteten Fragestellung wird dann noch der folgende wichtige Satz bewiesen:
Es sei \(D\) das Innengebiet einer beliebigen Jordankurve \(C\). Bildet man aus der Potenzfolge \(1,z,z^2,\ldots,z^n,\ldots\) mit Hilfe des Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens eine Reihe von Polynomen der betreffenden Grade \(P_0(z),P_1(z),\ldots,P_n(z),\ldots\) gemäß den Bedingungen \[ \iint\limits_D P_\lambda(z)\overline{P_\mu(z)}\,dxdy= \begin{matrix}\l&\l\\0&(p\neq q),\\ 1&(p=q),\end{matrix}\tag{2} \] so läßt sich jede innerhalb \(D\) reguläre und quadratisch integrierbare analytische Funktion \(f(z)\) in eine nach den Polynomen \(P_\nu(z)\) fortschreitende Reihe \(\sum c_\nu P_\nu(z)\) mit \[ c_\nu=\iint\limits_D f(z)\overline{P_\nu(z)}\,dxdy\tag{3} \] entwickeln, die in jedem abgeschlossenen, ganz im Innern von \(D\) gelegenen Bereich \(D^*\) gleichmäßig gegen \(f(z)\) konvergiert.
Ein entsprechender Satz bei Orthogonalitätsbedingungen in bezug auf eine rektifizierbare Begrenzung \(C\) (also mit \(\int\limits_C P_\lambda\overline P_\mu\,ds\)) war etwas früher von G. Szegö aufgestellt worden [Math. Z. 9, 218–270 (1921; JFM 48.0374.04)]. Hier wie dort ergeben sich Beziehungen zur konformen Abbildung von \(D\) auf den Einheitskreis; durchläuft nämlich \(g(z)\) diejenige Funktionenklasse, für welche \(g(a)=0\) mit festem \(a\) in \(D\) gilt und der Bildbereich von \(D\) die Fläche \(\pi\) hat, so erreicht der Abbildungsmodul in \(a\) dann und nur dann sein Maximum, wenn \(\zeta=g(z)\) das Innere von \(C\) konform auf den Einheitskreis in der \(\zeta\)-Ebene abbildet.

MSC:
30E10 Approximation in the complex plane
Citations:
JFM 48.0374.04
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