×

zbMATH — the first resource for mathematics

Über die Bedeutung der Jensenschen Formel für einige Fragen der komplexen Funktionentheorie. (German) JFM 49.0713.01
Der Aufsatz bringt in Weiterführung der Untersuchungen von Fatou, Lindelöf, F. u. M. Riesz, Blaschke, Szegö, F. Riesz und dem Verf. eine Fülle von wichtigen neuen Ergebnissen, aus welchen nur die folgenden erwähnt sein mögen.
Ist \(f(z)\) für \(|z|<1\) regulär, \(\not\equiv 0\) und derart, daß das über die Peripherie \(|z|=\varrho\) erstreckte Integral von \(\log|f(z)|\) bei \(\varrho\to 1-0\) beschränkt bleibt, so ist die Reihe \(\sum(1-|z_k|)\), wobei \(z_k\) alle Nullstellen von \(f\) in \(|z|<1\) (die mehrfachen mehrfach gezählt) durchläuft, konvergent, also z. B. \(1-|z_k|\) gewiß\({}=o(k^{-1})\), wenn \(|z_k|\leqq|z_{k+1}|\). Bleibt das auf \(|z|=\varrho\) erstreckte Integral des Betrages von \(\log|f(z)|\) ebenfalls unterhalb einer festen Schranke, so ist der Grenzwert \(\lim f(\varrho e^{i\varphi})\) für \(\varrho\to 1-0\) fast überall auf \(|z|=1\) vorhanden und er ist (als Funktion von \(\varphi\) betrachtet) \(L\)-integrabel.
Es sei \(\{f_n\}\) eine Folge von Funktionen, für welche die Prämissen des zweiterwähnten Satzes erfüllt sind, und zwar gleichmäßig für alle \(n\), und es möge auf einer Teilmenge des Intervalles \(0\leqq\varphi\leqq 2\pi\), die keine Nullmenge ist, der Grenzwert \[ \lim_{n=\infty}\left(\lim_{\varrho=1}f_n(\varrho e^{i\varphi})\right) \] vorhanden sein. Dann konvergiert \(\{f_n\}\), und zwar gleichmäßig, auf jedem Kreis \(|z|\leqq\varTheta\) (\(<1\)). [Diesen Satz hat, unabhängig vom Verf., auch Kintchine bewiesen (F. d. M. 48, 374 (JFM 48.0374.*), 1922).]
Letzterer Satz bleibt richtig, auch wenn die Annahme \(f_n\not\equiv 0\) fallen gelassen wird. Daraus folgt, daß wenn \(f\) den Voraussetzungen des zweiterwähnten Satzes genügt, die radiale Grenzfunktion auf einer Menge vom positiven Maß nur im Falle \(f\equiv 0\) verschwinden kann.
Es sei noch der folgende Satz vermerkt. Ist \(f\) im Innern eines Jordanschen Bereiches \(G\) regulär und dem Betrage nach \(<M\), ferner \(<M_1\) auf einem in \(G\) gelegenen Jordanschen Kurvenbogen \(C\), bezeichnet endlich \(B\) einen ganz in \(G\) liegenden Bereich, so gibt es eine von \(f\) unabhängige positive Zahl \(\vartheta= \vartheta(G,B,C)<1\) derart, daß auf \(B\) die Ungleichheit \(|f|\leqq M^\vartheta M_1^{1-\vartheta}\) gilt.
Vgl. auch A. Ostrowski, Math. Ztschr. 24 (1925).

PDF BibTeX XML Cite