Differential properties of functions of a complex variable which are invariant under linear transformations. II. (English) JFM 49.0716.02

Wilczynski, E. J.

J. Math. Pures Appl. (9) 2, 1-51 (1923).

Verf. setzt seine Untersuchungen fort [JFM 48.0393.03], bei denen komplexe Funktionalzusammenhänge \(w=f(z)\) in bezug auf lineare gebrochene Transformationen \(z=\dfrac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}\) betrachtet werden; als wichtigste Hilfsmittel werden wieder die Schwarzschen Derivierte \(\{w,z\}\) und \(\varTheta^2= \{w,z\}{:}\left(\dfrac{dw}{dz}\right)^2\) benutzt. In einem gegebenen Punkte \(z\) kann \(w=f(z)\) durch andere Funktionen von vorgeschriebenem Charakter (gebrochen, linear, quadratisch, log einer gebrochen linearen Funktion u. ä. m.) berührt oder etwa von höchstmöglicher Ordnung oskuliert werden; eine große Reihe von speziellen Resultaten für solche Oskulationen wird aufgestellt. Für kompliziertere Fragen empfiehlt sich dabei die die Benutzung der Substitution \(\varphi=\int^z\sqrt{\{w,z_k\}}\,dz\); die Iteration dieser Funktionaloperation: \(z_{k+1}=\int\sqrt{\{w,z_k\}}\,dz_k\) liefert interessante Kettenbruchformeln, von denen hier nur die folgende angeschrieben sei: \[ \{w,z\}=\frac{\{z_1,z\}}1\dot-\frac{\{z_2,z_1\}}1\dot-\frac{\{z_3,z_2\}}1\dot\cdots\dot-\frac{\{z_k,z_{k-1}\}}{\{w,z_k\}}. \]
Es sei \(w^*=m^*\dfrac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}\) mit \(\alpha\delta\beta\gamma=1\) die oskulierende lineare Funktion für \(w=f(z)\) in einem betrachteten Punkte \(z\); beschreibt \(z\) einen beliebigen Kreis, so gibt es Fälle, wo dann auch der Pol \(p=-\dfrac\delta\gamma\) notwendig ebenfalls einen Kreis beschreibt: nämlich für eine “Potenzfunktion” \(w=l+m\left(\dfrac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}\right)^\lambda\); auch die beiden \(\infty\)-Stellen für die oskulierende logarithmische Funktion \(w_*=\log w^*\) beschreiben hier Kreise mit \(z\). Bei allen Untersuchungen von solchem Typus wird eine intrinseke Gleichung der betreffenden Funktionen aufgestellt, zumeist in der Gestalt \(\varTheta=\varTheta(\varphi)\).
Werden \(w\) und \(z\) gleichzeitig verschiedenen gebrochen linearen Substitutionen unterworfen, so wird neben \(\varphi\) als neue Invariante, statt des nunmehr unbrauchbaren \(\varTheta\), \[ J=-\frac{d^2\log\varTheta}{d\varphi^2}+\frac12 \left(\frac{d\log\varTheta}{d\varphi}\right)^2 \] eingeführt; für die inverse Funktion \(z=f^{-1}(w)\) erhält man ein entsprechendes \(\overline{J}\), und es gilt identisch \(J+\overline{J}=1\).
Ist \(J=J(\varphi)\) als intrinseke Gleichung vorgeschrieben, so findet man \(w\) durch Elimination von \(\varphi\) aus \[ \{w,\varphi\}=J;\qquad\{z,\varphi\}=1-J. \]
\(J=\text{Const.}\) führt z. B. wieder auf Potenzfunktionen: \[ \frac{aw+b}{cw+d}=\left(\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}\right)^\lambda, \qquad \lambda^2=\frac{J}{J-1}; \] insbesondere erhält man \(\lambda=\pm2\) für \(J=\dfrac43\).
Der Schluß der Abhandlung ist oskulierenden Potenzfunktionen zu einer gegebenen gewidmet; u. a. können hier feste Verzweigungspunkte nur entstehen, wenn \(f(z)\) selbst eine Potenzfunktion ist.

Reviewer: Müntz, Dr. (Berlin)

MSC:

30-XX

Functions of a complex variable

JFM Section:

Nachtrag. Vierter Abschnitt. Analysis.

Citations:

JFM 48.0393.03