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Some theorems on the reducibility of polynomials of one variable. (Einige Sätze über die Zerlegung von Polynomen einer Veränderlichen.) (Czech) JFM 50.0051.06
Časopis 53, 247-251 (1924); (Tschechisch, mit einem franz. Auszug.).
Verf. beweist die folgenden Sätze, die als Spezialfall den Satz von Eisenstein enthalten:
1. Das Polynom \[ x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_{n-l-1}x^{l+1} +qa_{n-l}x^l +qa_{n- l+1} x^{l-1}+\cdots +qa_n, \] wo \(q\) eine Primzahl ist, durch welche \(a_{n-l-1},a_n\) nicht teilbar sind, und wo \(2l + 1>n\), besitzt keinen rationalen Teiler, dessen Grad \(s\) die Bedingungen erfüllt: \[ n-l-1<s<l+1. \] II. Das Polynom \[ a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_{k-1}x^{n-k+1}+a_kx^{n-k} +a_{k+1}x^{n-k-1} +\cdots +a_n, \] dessen Koeffizienten alle, mit Ausnahme von \(a_k\), durch die Primzahl \(p\) teilbar sind und zwar \(a_0, a_n\) nur durch Ihre erste Potenz, besitzt, sofern es reduzibel ist, nur Teiler vom Grade \(k\) und \(n-k\).
Verf. leitet aus diesen Sätzen Kriterien für die Reduzibilität ab.
MSC:
11R09 Polynomials (irreducibility, etc.)
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