×

Sulle forme binarie per le quali una delle spinte in sè stesse sia identicamenta nulla. (Italian) JFM 50.0056.01

Die algebraischen Entwicklungen von Rocco (s. das Referat) über binäre Formen \(f\), für die eine gerade Überschiebung mit sich selbst \((f,f)^{2i}\) identisch verschwindet, werden hier geometrisch gedeutet und bestätigt, überdies auch in einigen Punkten ergänzt und berichtigt. Die Koeffizienten \(c_i\) einer mit Binomialkoeffizienten geschriebenen Form \(f=f_n(c_;x_1,x_2)\) deute man mit Comessatti (F. d. M. 47 (1919-20), 86; 48 (1921- 22), 707; 49 (1923), 447, 448), als homogene Koordinaten eines Punktes \(P\) in einem \(S_n\), wobei das Hessesche Übertragungsprinzip seine Verwendung findet.
Sei \(\Phi(c_i;x_1,x_2)\) eine Kovariante von \(f\), vom Grade \(l\) und der Ordnung \(m(>0)\), so stellt die Gleichung \(\Phi=0\), für \(x_1/x_2\) als Parameter, ein \(\infty^1\)-System des Index \(m\) von Überflächen \(M_{n-1}^l\) dar, das enthalten ist in einem linearen \(\infty^m\)-System \(\Gamma\). Im besonderen liegen für \(l=2\) quadratische Kovarianten vor, die sich im \(S_n\) als Systeme von \(F_2\) abbilden.
Die Forderung, daßfür eine Form \(f\) die vierte, sechste, \(\dots\) Überschiebung mit sich selbst identisch verschwindet, besagt jetzt, daßder Bildpunkt (\(c\)) im \(S_n\) allen \(F_2\) von \(\Delta\) angehört, die je durch eine solche Überschiebung bestimmt sind, und damit auch allen des linearen Systems \(\Gamma\). Die Frage ist damit zurückgeführt auf die Untersuchung der Basismannigfaltigkeit eines linearen Systems von \(F_2\). Die Formen \(f\) mit \(n\)-facher Wurzel bilden sich ab auf die Punkte einer Normkurve \(N_n\), diejenigen der \(f\) mit \((n-1)\)-facher, \((n - 2)\)-facher, \(\dots\) Wurzel auf die Punkte gewisser die \(N_n\) oskulierenden Räume. Andererseits geht durch die ein lineares System von \(F_2\) der Dimension \({n \choose 2}-1\), u. s. f.; alle diese linearen Systeme von \(F_2\) sind invariant gegenüber der projektiven Gruppe \(G\) von \(\infty^3\) Kollineationen, die die \(N_n\) in sich überführen. Betrachtet man jedes dieser \(F_2\)- Systeme selbst wieder als einen projektiven Raum \(S\), so hat man es mit einem \(S_k\) zu tun, der einen Unterraum \(S_h\), und dieser wiederum einen \(S_{k-h-1}\) fest läßt. Alle diese Räume sind mit der \(N_n\) invariant verknüpft. Unter den die \(N_n\) enthaltenden \(F_2\) gibt es eine Reihe von linearen Untersystemen. Unter diesen sind ausgezeichnet ein gewisses System der Dimension \(2n-4i\), die jeweils die Mannigfaltigkeit der höchstberührenden \(S_i\) \((i = 1, 2,\dots)\) nicht enthalten. Eben diese stellen die lineare Systeme \(\Gamma\) dar, auf die die Abbildung der Kovarianten \((f,f)^{2i}\) führt. Für \(n=6\) reduziert sich das System \(\Gamma\) auf eine einzige \(F_2\); diese Formen \(f_6\) mit \((f,f)^6=0\), also mit verschwindender quadratischer Invariante sind die “apolaren”. Für \(n = 7\) ist das System \(\Gamma\) ein Netz von \(F_2\), mit einer Bases \(M_4^8\), die \(\infty^3\) Gerade enthält. Für \(n=8\) wird \(\Gamma\) ein \(\infty^4\)-System von \(F_2\); dessen Basis ist der Schnitt von fünf \(F_2\). Dementsprechend gibt es zwei verschiedene Typen von \(f_8\) mit \((f,f)^6 \equiv 0\).
Dies mag genügen, um einen Einblick in die Tragweite der befolgten Methode zu gewinnen.
PDFBibTeX XMLCite