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On the theory of numbers and generalized quaternions. (English) JFM 50.0094.02

Die arithmetische Zerlegungstheorie der ganzen Quaternionen \(x + yi + zj + wk\) im Sinne von Lipschitz (\(x, y, z, w\) ganz) bzw. Hurwitz (\(x, y, z, w\) ganz oder Hälften ungerader Zahlen) führt bekanntlich zur Angabe aller ganzzahligen Lösungen der durch Normbildung gelieferten diophantischen Gleichungen \[ x^2+y^2+z^2+w^2=uv,\;\text{bzw.}\;x^2+xy+xz+xw+y^2+z^2+w^2=uv. \] Will man auf dieselbe Weise alle ganzzahligen Lösungen diophantischer Gleichungen angeben, die den Normen allgemeinerer Systeme hyperkomplexer Zahlen entsprechen, so scheitert das i. a. an der Unmöglichkeit des Euklidischen Algorithmus nach fallenden Normen in solchen Systemen. Der Verf. ersetzt daher zunächst in der arithmetischen Zerlegungstheorie der Quaternionen den Euklidischen Algorithmus durch eine “descente infinie”, behandelt sodann auf dieser Grundlage die genannten diophantischen Gleichungen und zeigt zum Schluß, daßdiese Methode auch für das zur diophantischen Gleichung \[ x^2+xz+2z^2+y^2+yw+2w^2=uv \] führende System hyperkomplexer Zahlen anwendbar ist, für das der Euklidische Algorithmus versagt. Anwendungen auf weitere Systeme hyperkomplexer Zahlen werden in Aussicht gestellt.

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