Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. I: Arithmetischer Teil. II: Analytischer Teil. (German) JFM 50.0107.01

Artin, Emil

Math. Z. 19, 153-206 (1924); ibid. 19, 207-246 (1924).

Die beiden Arbeiten stellen eine Übertragung der gesamten arithmetischen und analytischen Theorie der quadratischen Zahlkörper über dem rationalen Zahlkörper auf den Fall der quadratischen Körper \(K(\sqrt{D})\) über dem Körper \(K\) der rationalen Funktionen einer Unbestimmten \(t\) mit Koeffizienten aus dem Restklassenkörper nach einer Primzahl \(p\) dar. Nachdem im ersten arithmetischen Teil der Satz von der eindeutigen Zerlegbarkeit der Ideale in Primideale, die Endlichkeit der Idealklassenzahl \(h\), die Existenz einer Grundeinheit und ein Analogon zum quadratischen Reziprozitätsgesetz für die Körper \(K(\sqrt D)\) bewiesen ist, wird im zweiten, analytischen Teil das Analogon \(Z(s)\) zur Dedekindschen Zetafunktion von \(K(\sqrt D)\) studiert. Diese Funktion erweist sich als eine meromorphe Funktion von elementarem Charakter, die einer Funktionalgleichung des bekannten Typus genügt. Ihr Studium bei \(s=1\) oder \(s=0\) führt zu Ausdrücken für die Klassenzahl \(h\) durch gewisse Summen \(\sigma_\nu\) \((\nu=1,\dots,n-1\); \(n\) Grad von \(D\)) über quadratische Restcharaktere. Die Funktionalgleichung von \(Z(s)\) hat merkwürdige Reziprozitätsbeziehungen zwischen diesen \(\sigma_\nu\) zur Folge. Die Nullstellen \(\varrho\) von \(Z(s)\) (inkl. aller trivialen auf der Geraden \(\operatorname{Re}(s)=0\) gelegenen) ergeben sich aus den Wurzeln \(\beta_\nu\) der algebraischen Gleichung \(z^n+\sigma_1z^{n-1}+\cdots +\sigma_{n-1}=0\) durch \(\beta_\nu=p^0\). Eine Durchrechnung von etwa vierzig einfachen Beispielen bestätigt stets die Richtigkeit des Analogons zur Riemannschen Vermutung, d. h. \(| b_\nu| =\sqrt p\) für die nichttrivialen Nullstellen. Der allgemeine Nachweis dafür stößt auf Schwierigkeiten. Die Klassenzahl \(h\) läßt sich durch ein Produkt über die \(\beta_\nu\) darstellen, woraus sich unter Annahme der Richtigkeit des Analogons zur Riemannschen Vermutung Endlichkeitssätze über “imaginäre” Körper \(K(\sqrt D)\) mit vorgegebener Klassenzahl \(h\) oder auch nur vorgegebener Klassenzahl des Hauptgeschlechts ergeben. Die analytischen Methoden führen schließlich in üblicher Weise zur asymptotischen Berechnung der Anzahl der Primideale von \(K(\sqrt D)\) mit gegebener Absolutnorm (auch zum Analogon der expliziten Riemann-Mangoldtschen Formel hierfür), sowie der Anzahl Primfunktionen gegebenen Grades aus \(K\) in arithmetischen Progressionen.

Reviewer: Hasse, Prof. (Halle an der Saale)

MSC:

11R11	Quadratic extensions
11R27	Units and factorization
11R29	Class numbers, class groups, discriminants
11R42	Zeta functions and \(L\)-functions of number fields
11R58	Arithmetic theory of algebraic function fields

JFM Section:

Zweiter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 8. Algebraische Zahlen. Asymptotische Abschätzung von zahlentheoretischen Funktionen. Gitterpunktprobleme.