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Über Gitterpunkte in mehrdimensionalen Ellipsoiden. (German) JFM 50.0118.01

Die endgültige \(O\)-Abschätzung des Gitterrestes für \(k\)- dimensionale Ellipsoide, auch im Fall vorgeschriebener Gewichte, gelang A. Walfisz allgemein für \(k \geqq 8\), nur im Spezialfall der Kugel auch noch für \(k \geqq 5\) (vgl. ob. Referat). Durch Summation über \(n \leqq x\) unter dem Integralzeichen in (8) – vgl. oben – gelingt Verf. nach einer Reihe von formalen Schritten der Nachweis des umfassenderen Resultates: \[ (9)\quad F(x)=\frac{\pi^{\frac k2}}{\sqrt D \Gamma \left( \frac k2 \right)} \sum_{\begin{matrix} q \leqq \sqrt x \\ q \equiv 0(\text{mod }H) \end{matrix}} \sum' \frac{s_{p,q,\alpha}}{q^k} \sum_{0 \leqq n \leq x} n^{\frac k2-1} e^{-2\pi in \frac pq} + O \left( x^{\frac k4} \log x \right), \] wodurch nun (2) auch für \(k \geqq 5\) allgemein gesichert erscheint. Für \(k=4\) kann Verf. beim Rest \(O(x \log^2x)\) angeben, im Spezialfall der älteren eigenen Überlegungen sogar \(O(x \log x)\).

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